$f$ est continue sur $]-\infty;2[$ et continue sur $]2;+\infty[$ (fonctions affines)
Etude de la continuité en $x=2$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=2\times 2-3=1$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=-3\times 2+7=1$
donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$
donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Représentation graphique de $f$

Remarque
$f$ est une fonction affine par morceaux.

$f$ est continue sur $]-\infty;1[$ (fonction carré) et continue sur $]1;+\infty[$ (fonction affine)
Etude de la continuité en $x=1$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=1^2=1$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=2\times 1-3=-1$
donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)\neq \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)$
donc $f$ n'est pas continue en $x=1$ donc n'est pas continue sur $\mathbb{R}$.
Représentation graphique de $f$

$f$ est continue sur $]-\infty;-1[$ (fonction rationnelle) et continue sur $]-1;+\infty[$ (fonction polynôme)
Etude de la continuité en $x=-1$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}x^2-1=(-1)^2-1=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}x-3=-1-3=-4$
donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}f(x)=0$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}f(x)=(-1)^2-1=0$
donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}f(x)= \displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}f(x)$
donc $f$ est continue en $x=-1$ donc est continue sur $\mathbb{R}$.
Représentation graphique de $f$