On pose $u(x)=2x-1$ et $v(x)=cos(x)$ et on a $f(x)=vou(x)+3x-2$
$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$u'(x)=2$ et $v'(x)=-sin(x)$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)+3=-sin(2x-1)\times 2+3=-2sin(2x-1)+3$
$f'(x)=-2sin(2x-1)+3$

Pour tout réel $x$ on a $-1\leq sin(x)\leq 1$
donc $-1\leq sin(2x-1)\leq 1$
donc $2\geq -2sin(2x-1)\geq -2$ l'inégalité change de sens quand on multiplie par $-2$
soit $2+3\geq -2sin(2x-1)+3\geq -2+3$
donc $5\geq f'(x)\geq 1$
donc $f'(x)>0$
donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.