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La fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=xe^{x}$.
On note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
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On note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
- Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$
limites usuelles
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^n=+\infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x^n}=\pm \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
Limites de la fonction exponentielle(vue en première)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^n=\pm \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x}=+ \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
Limites de la fonction $ln$ (chapitre fonction $ln$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$
Opérations sur les limites
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^x=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x=+\infty$
- Calculer la dérivée de $f$.
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{x}$On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{x}$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$
donc $f=u\times v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$u'(x)=1$ et $v'(x)=e^{x}$
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$~~~~~~~=1e^{x}+x\times e^{x}$
$~~~~~~~=e^{x}+xe^{x}$
$~~~~~~~=e^{x}(x+1)$
- En déduire le tableau de variation de $f$.
Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$Signe de exp(x)
Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$$e^{x}>0$ et $x\geq 0$$e^{x}>0$
$x\geq 0$ donc $x+1>0$ donc $f'(x)>0$
- Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $1$.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Il faut calculer $f(1)$ et $f'(1)$$f(1)=1e^{ 1}=e$
$f'(0)=e^{1}(1+1)=2e$
$T$: $y=f'(1)(x-1)+f(1)=2e(x-1)+e=2ex-e$
- Tracer $C_f$ et $T$ (unités 2cm pour l'axe des abscisses et 1cm pour 2 unités sur l'axe des ordonnées)
Placer le minimum de $f$ et utiliser le MENU TABLE de la calculatrice pour placer suffisamment de points.
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