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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-12x+1$.
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- Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$
On peut factoriser le terme de plus haut degréPour tout réel $x\neq 0$ on a:
$f(x)=x^2\left(2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{12}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x^2}=2$
donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{1}{x^2}=2$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^2=+\infty$
- Calculer $f'(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$.
Dérivées usuelles
Il faut étudier le signe de $f'(x)$$f'(x)=2\times 2x-12=4x-12$
$4x-12>0 \Longleftrightarrow 4x>12 \Longleftrightarrow x>3$
donc $f'(x)>0$ pour $x>3$
On a donc:
$f(3)=2\times 3^2-12\times 3+1=-17$
ne pas confondre $f(x)$ et $f'(x)$
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