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- On donne l'algorithme ci-dessous:
Quel est le résultat affiché si on saisit $A=100$? - Ecrire cet algorithme en python
Que s'affiche-t-il si on saisit maintenant $A=1000$ puis $A=10000$?input: saisir une variable
x=input("saisir la valeur de x") --> permet de saisir la valeur de x par l'utilisateur
Si on veut saisir un entier par exemple: x=int(input("saisir un nombre entier"))
Si on veut saisir un réel x=float(input("saisir un nombre"))Boucle TANT QUE
while test-à-faire : instructions de la boucle tant queIl faut saisir la variable $A$ pui utiliset une boucle TANT QUE
Si on saisit $A=1000$, l'algorithme affiche $x=40$.
Si on saisit $A=10000$, l'algorithme affiche $x=110$. - Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+2$ est croissante sur $[10;+\infty[$.
- En saisissant différentes valeurs de $A$, conjecturer alors de $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2-6x+2$?
limite $+\infty$ en $+\infty$
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)>A$On peut saisir des valeurs de plus en plus grande de $A$ pour avoir les conditions de la définitionSi on saisit $A=100 000$, on obtient $x=320$, si on saisit $A=10^{10}$ on obtient $x=100 010$.
Pour le réel $A=10^{10}$, on a $f(100 010)> A$ et $f$ strictement croissante sur $[10;+\infty[$
donc pour tout $x > 100 010$ on a $f(x)>A$.
On peut conjecturer que pour tout réel $A>0$ il existe un réel $X_0$ tel que $f(x)> A$ pour tout $x> X_0$
- En utilisant les limites des fonctions usuelles, retrouver le résultat précédent.
Limite fonction polynôme en +oo
$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ polynôme de degré $n$
- factoriser le terme de plus haut degré
- chercher les limites de chaque terme de la parenthèseOn peut factoriser le terme de plus haut degré.Pour tout réel $x >0$, on a:
$f(x)=x^2\left(1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{6}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x^2}=0$
et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{2}{x^2}=1$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2=+\infty$
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