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- Déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{sin(x)+1}{x^2}$
Encadrement (théorème des "gendarmes")
$f$, $g$ et $h$ sont définies sur $I=]a;+\infty[$ telles que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ sur $I$.
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}h(x)=l$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=l$Il faut encadrer $\dfrac{sin(x)+1}{x^2}$Pour tout réel $x$, on a $-1\leq sin(x) \leq 1$ donc $0\leq sin(x)+1\leq 2$
donc pour tout réel $x >0$, on a $0\leq \dfrac{sin((x)+1}{x^2}\leq \dfrac{2}{x^2}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x^2}=0$
- Justifier que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3}$ correspond à l'un des cas d'indétermination.
Montrer que pour tout réel $x>2$, on a $\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3}=\dfrac{6}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-3}}$
En déduire $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3}$.Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...Pour lever l'indétermination, on peut multiplier par l'expression conjuguée de $\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3}$ au numérateur et au dénominateurIl y a indétermination car $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{2x+3}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{2x-3}=+\infty$ donc la limite de la différence est indéterminée.
Pour tout réel $x>2$ tel que $2x-3 >0$, on a:
$\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3}=\dfrac{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3})\times (\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-3})}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-3}}$
$\phantom{\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3}}=\dfrac{\sqrt{2x+3}^2-\sqrt{2x-3}^2}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-3}}$
$\phantom{\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3}}=\dfrac{2x+3-(2x-3)}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-3}}$
$\phantom{\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3}}=\dfrac{6}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-3}}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{2x+3}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{2x-3}=+\infty$
donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-3}=+\infty$
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