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Dans chaque cas, déterminer la limite en $+\infty$ et $-\infty$.
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- $f(x)=2x^3-3x^2+2$ définie sur $\mathbb{R}$.
Limite fonction polynôme en +oo
$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ polynôme de degré $n$
- factoriser le terme de plus haut degré
- chercher les limites de chaque terme de la parenthèseEn $-\infty$, il faut déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x^3$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow-\infty}-3x^2$
En $+\infty$, il y a un cas d'indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré soit $x^3$.Limite en $-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}2x^3=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-3x^2=-\infty$
Limite en $+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x^3=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-3x^2=-\infty$
donc la limite de la somme est indéterminée.
Pour tout réel $x>0$ (on peut supposer $x\neq 0$ puisqu'on cherche la limite quand $x \longrightarrow +\infty$), on a:
$f(x)=2x^3-3x^2+2=x^3\left(2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^3}\right)$ (terme de plus haut degré en facteur)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\dfrac{3}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x^3}=0$
donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^3}=2$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^3=+\infty$
- $f(x)=-5x^4+3x^2-1$ définie sur $\mathbb{R}$.
En $-\infty$ et en $+\infty$, il y a indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré soit $x^4$.$f(x)=-5x^4+3x^2-1=x^4\left(-5+\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{1}{x^4}\right)$ (terme de plus haut degré en facteur)
Limite en $-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{3}{x^2}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-\dfrac{1}{x^4}=0$
donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-5+\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{1}{x^4}=-5$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^4=+\infty$
Limite en $+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{3}{x^2}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\dfrac{1}{x^4}=0$
donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-5+\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{1}{x^4}=-5$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^4=+\infty$
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