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On considère le demi-cercle de diamètre $[AB]$ avec $AB=10$ cm et le point $C$ est un point du demi-cercle.

On note $AH=x$

  1. Exprimer $CH$ en fonction de $x$.
    On distinguera les cas $x\leq 5 $ ET $x>5$
    On peut utiliser le triangle $OCH$ rectangle en $H$.
    Dans le triangle $OCH$ rectangle en $H$, on a $OC^2=OH^2+HC^2$
    Premier cas: $H\in [AO]$ soit $x\in[0;5]$
    Dans ce cas, $OH=5-x$, donc on a:
    $5^2=(5-x)^2+HC^2$
    donc $HC^2=25-(5-x)^2=25-(25-10x+x^2)=25-25+10x-x^2=10x-x^2$
    et $HC=\sqrt{10x-x^2}$

    Deuxième cas: $H\in [OB]$ soit $x\in[5;10]$
    Dans ce cas, $OH=x-5$, donc on a:
    $5^2=(x-5)^2+HC^2$
    donc $HC^2=25-(x-5)^2=25-(x^2-10x+25)=25-x^2+10x-25=10x-x^2$
    et $HC=\sqrt{10x-x^2}$
    donc dans les deux cas, on trouve $HC=\sqrt{10x-x^2}$.

  2. On note $A$ la fonction qui à $x$ associe l'aire du triangle $ABC$.
    Quel est l'ensemble de définition de la fonction $A$?
    Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$.
    Le point $H\in [AB]$.
    Rappel: l'aire d'un triangle est $A=\dfrac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}$
    Le point $H$ est un point du segment $[AB]$ avec $AB=10$ et $x=AH$
    donc $0 \leq x \leq 10$


    La hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$ est $(CH)$ donc on a:
    $A(x)=\dfrac{AB\times CH}{2}=\dfrac{10\times \sqrt{10x-x^2}}{2}=5 \sqrt{10x-x^2}$

  3. En utilisant la calculatrice, conjecturer(émettre une hypothèse sans la prouver) la position de $C$ pour laquelle l'aire du triangle est maximale.
    On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice.
    Dans le MENU TABLE, en saisissant l'expression de $A(x)$ dans Y1 et en paramétrant dans SET XMIN=0, XMAX=10 et STEP=0,1 par exemple, on obtient:

    Il semble donc que l'aire maximale soit de 25 cm$^2$ atteinte pour $x=5$ c'est à dire lorsque $H$ est confondu avec $O$.

  4. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $A$.

    Vérifier que la conjecture émise à la question précédente est cohérente avec le graphique.
    On a représenté l'aire en fonction de $x$:


  5. Déterminer le nombre de positions du point $C$ pour lesquelles l'aire du triangle est de 15 cm$^2$.
    Contrôler les solutions obtenues par le calcul.
    On cherche le nombre de points de la courbe ayant une ordonnée égale à 15.
    On veut résoudre graphiquement $A(x)=15$.
    Les solutions de l'équation $A(x)=15$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=15$ (en bleu sur le graphique).

    donc $A(x)=15$ pour $x=1$ ou pour $x=9$.
    En calculant l'image de $1$ puis celle de $9$ par la fonction $A$, on a:
    $A(1)=5\sqrt{10-1^2}=5\times 3=15$ et $A(9)=5\times \sqrt{10\times 9-9^2}=5\times 3=15$
  6. En déduire graphiquement les positions possibles du point $C$ pour lesquelles l'aire du triangle est inférieure ou égale à 15 cm$^2$.
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est inférieure ou égale à 15.
    On veut résoudre l'inéquation $A(x)\leq 15$.
    Graphiquement, les solutions sont les abscisses des points de la courbe (en pointillés bleus sur le graphique) situés en-dessous de la droite d'équation $y=15$ (en bleu sur le graphique)

    donc $A(x)\leq 15$ pour $x\in [0;1]$ ou pour $x\in [9;10]$.


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