$x(2-x)-1=2x-x^2-1=-x^2+2x-1$
$\Delta=b^2-4ac=4-4\times (-1)\times (-1)=4-4=0$
$-x^2+2x-2$ admet une racine $x_1=\dfrac{-b}{2a}=1$ et est donc toujours du signe de $a=-1$ (coefficient de $x^2$)
donc sur $]0;1[$ on a $-x^2+2x-1 < 0$ soit $x(2-x) < 1$
On a $x > 0$ et $x < 1$ donc $2-x > 0$ soit $x(2-x)> 0$
Pour tout réel $x\in ]0;1[$, on a donc $0 < x(2-x)< 1$.
Remarque
On peut aussi dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;1[$
définie par $f(x)=x(2-x)=-x^2+2x$
On a alors $f'(x)=-2x+2=2(1-x)$ et $f'(x)> 0$ sur $]0;1[$
soit $f$ croissante sur $]0;1[$ avec $f(0)=0$ et $f(1)=1$

On note $P_n$ (avec $n\in \mathbb{N}$) la propriété $0< u_n < 1$
- Initialisation $n=0$
On a $ 0< u_0 < 1$ (propriété $P_0$)

- Hérédité
On suppose $P_n$ vraie pour un entier naturel $n$.
$ 0< u_n < 1$
D'après la question 1 on a alors $0 < u_n(2-u_n) < 1$
soit $0< u_{n+1} < 1$
donc $P_{n+1}$ est vraie.
On a montré par récurrence que $0< u_n < 1$ pour tout entier naturel $n$.

$u_n>0$ pour tout entier naturel $n$.
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{u_n (2-u_n)}{u_n}=2-u_n$
On a $0 < u_n < 1$
donc $2-u_n < 1$
soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$
donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

On a la suite $(u_n)$ strictement croissante et majorée par 1
donc la suite $(u_n)$ est convergente.
Si on note $\alpha$ la limite de $(u_n)$ on a $\alpha$ solution de l'équation $\alpha (2-\alpha)=\alpha$
$\alpha (2-\alpha)=\alpha \Longleftrightarrow \alpha -\alpha^2=0$
$\phantom{\alpha (2-\alpha)=\alpha} \Longleftrightarrow \alpha(1 -\alpha)=0$
$\phantom{\alpha (2-\alpha)=\alpha} \Longleftrightarrow \alpha=0$ ou $\alpha =1$
or $\alpha > u_0$ avec $u_0=\dfrac{1}{2}$
donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=1$.