Le premier janvier 2010, on place la somme de 5000 euros sur un compte rémunéré au taux de 3% par an (chaque année, on ajoute les intérêts sur le compte.) et on place sur ce compte 200 euros supplémentaires chaque premier janvier ( à partir du premier janvier 2011).
On note $c_n$ le capital disponible sur ce compte au premier janvier de l'année $2010+n$

1. calculer $c_1$ puis $c_2$

   Aide

   Rappel: augmenter une valeur de 3 revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{3}{100}$
   Attention, on ajoute ensuite chaque année 200 euros sur ce compte (en plus des intérêts

   Solution

   $c_1=c_0+\dfrac{3}{100}c_0+200=5000+150+200=5350$
   $c_2=c_1+\dfrac{3}{100}c_1+200=5350+160,5+200=5710,5$
   $c_1=5350$ et $c_2=5710,5$
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=c_n+5000$.
   Montrer que $c_n$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

   Aide

   Il faut exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $c_{n+1}$ puis en fonction de $c_n$ pour trouver une relation de la forme $u_{n+1}=qu_n$

   Solution

   $u_{n+1}=c_{n+1}+5000$
   $\phantom{v_{n+1}}=1,04c_n+4+200+5000$ (car $c_{n+1}=1,04u_n-5000$)
   $\phantom{v_{n+1}}=1,04c_n-+5200$
   $\phantom{v_{n+1}}=1,04(c_n+5000)$ (on factorise par le coefficient de $u_n$, ici 1,04 et $1,04\times 5000=5200$)
   $\phantom{v_{n+1}}=1,04 u_n$
   en prenant $n=0$ dans $u_n=c_n+5000$
   On a $u_0=c_0+5000=5000+5000=10000$
   $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=10000$ et de raison $q=1,04$
3. En déduire l'expression de $c_n$ en fonction de $n$

   Aide

   Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ puis $c_n$ en fonction de $n$ (rappel: $u_n=c_n+5000$)

   Solution

   $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=10000$ et de raison $q=1,04$
   donc $u_n=u_0\times q^n=10000\times 1,04^n$
   On a $u_n=c_n+5000$
   donc $c_n=u_n-5000=10000\times 1,04^n-5000$
   $c_n=10000\times 1,04^n-5000$
4. En déduire le capital disponible, arrondi à l'euro près, le premier janvier 2025 avant le versement de 200 euros du premier janvier 2025

   Aide

   $2025=2010+15$...

   Solution

   $2025=2010+15$ donc il faut calculer $c_{15}$
   $c_{15}=10000\times 1,04^{15}-5000\simeq 13009$
   Avant le versement de 200 euros du premier janvier 2015, on aura donc $c_{15}-200\simeq 12809$ euros
   Avant le versement de 200 euros, il y aura environ 12809 euros sur ce compte le premier janvier 2025