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On considère la suite $(u_n)$ géométrique de raison $q=\dfrac{1}{4}$ et premier terme $u_0=-3$.
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- Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$ - Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Utiliser la forme de récurrence puis la forme explicite pour déterminer le signe de $u_{n+1}-u_n$$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{4} u_n-u_n$
$~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{4} u_n-\dfrac{4}{4} u_n$
$~~~~~~~~~~=-\dfrac{3}{4} u_n$
$~~~~~~~~~~=-\dfrac{3}{4} \times (-3)\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$
$~~~~~~~~~~=\dfrac{9}{4} \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$
$\left(\dfrac{1}{4}\right)^n>0$ donc $\dfrac{9}{4} \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n>0$
donc $u_{n+1}-u_n>0$ soit $u_{n+1}> u_n$
- Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Limite de $q^n$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$La raison $q=\dfrac{1}{4}$ est comprise entre $-1$ et $1$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$
donc par produit $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -3\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$
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