En prenant $n=0$, on a $u_{0+1}=u_1=1+\dfrac{1}{3}u_0=1+\dfrac{-3}{3}=0$
En prenant $n=1$, on a $u_{1+1}=u_2=1+\dfrac{1}{3}u_1=1+\dfrac{0}{3}=1$
En prenant $n=2$, on a $u_{2+1}=u_3=1+\dfrac{1}{3}u_2=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$
$u_1=0$, $u_2=1$ et $u_3=\dfrac{4}{3}$

On note $P_n$ la propriété $u_n\leq \dfrac{3}{2}$
-Initialisation
On a $u_0=-3$ donc $u_0\leq \dfrac{3}{2}$ donc $P_0$ est vraie.
$u_1=0$ donc $u_1\leq \dfrac{3}{2}$ donc $P_1$ est vraie.
- On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $u_n\leq \dfrac{3}{2}$
On a donc $u_n\leq \dfrac{3}{2}$.
$u_{n+1}=1+\dfrac{1}{3}u_n$
donc $u_{n+1}\leq 1+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}$ et $ 1+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$
donc $u_{n+1}\leq \dfrac{3}{2}$
donc $P_{n+1} $ est vraie.
On a donc montré par récurrence que $P_n$ est vraie.
donc $(u_n)$ est majorée par $\dfrac{3}{2}$

Pour tout entier naturel $n$, on a:
$u_{n+1}-u_n=1+\dfrac{1}{3}u_n-u_n=1-\dfrac{2}{3}u_n$
$u_n\leq \dfrac{3}{2}$
donc $-\dfrac{2}{3}u_n\geq -\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{2}$ soit $-\dfrac{2}{3}u_n\geq -1$
on multiplie les deux membres par $-\dfrac{2}{3}$ donc l'inégalité change de sens
donc $1-\dfrac{2}{3}u_n\geq 1-1$ (on ajoute 1 à chaque membre de l'inégalité)
donc $u_{n+1}-u_n \geq 0$
donc la suite $(u_n)$ est croissante.

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\dfrac{3}{2}$
donc la suite $(u_n)$ est convergente.

$\ell=1+\dfrac{\ell}{3}$
$\Longleftrightarrow \ell-\dfrac{\ell}{3}=1$
$\Longleftrightarrow \dfrac{2\ell}{3}=1$
$\Longleftrightarrow \ell=\dfrac{3}{2}$
On a donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=\dfrac{3}{2}$