On note $P_n$ la propriété $(1+a)^n\geq 1+na$.
Initialisation:
Pour $n=0$ on a $(1+a)^0=1$ et $1+0a=1$
donc $(1+a)^0\geq 1+0a$ donc $P_0$ est vraie.
Hérédité:
On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $(1+a)^n\geq 1+na$
et on veut montrer que $P_{n+1}$ est vraie soit que $(1+a)^{n+1}\geq (1+(n+1)a)$
$(1+a)^{n+1}=(1+a)(1+a^n)$ et on a $(1+a)^n\geq 1+na$
donc $(1+a)^{n+1}\geq (1+a)(1+na)$
soit $(1+a)^{n+1}\geq 1+a+na+na^2$
donc $(1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1)a+na^2$
or $na^2>0$ donc $(1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1)a$
donc $P_{n+1}$ est vraie
On a donc montré par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$, $(1+a)^n\geq 1+na$.

$q>1$ donc il existe un réel $a>0$ tel que $q=1+a$
et on a $(1+a)^n\geq 1+na$
donc $q^n\geq 1+na$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}na=+\infty$
donc par comparaison on a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$.