On a les deux vecteurs suivants de même origine:

Le projeté orthogonal de $A$ sur $(CD)$ est le point $H$ confondu avec $D$.

$\overrightarrow{CD}. \overrightarrow{CA}=CD\times CH=CD^2=a^2$
Remarque
On a aussi $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA}=CD\times CA \times cos(\widehat{ACD})=a\times \sqrt{2}a\times cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}a^2\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2$ Pour calculer $AC$, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $ACD$.

On a les deux vecteurs suivants de même origine avec $\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{CD}$ (en vert)

$\overrightarrow{AD}. \overrightarrow{CB}$
$=AD\times CB \times cos(\widehat{B_1AD})$
$=a^2 \times cos(\widehat{\pi})$ or $cos(\pi)=-1$
$=-a^2$
$\overrightarrow{AD}. \overrightarrow{CB}=-a^2$.

On a les deux vecteurs suivants de même origine avec $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BB_1}$ (en rouge)

$\overrightarrow{BD}. \overrightarrow{AC}$
$=BD\times AC \times cos(\widehat{B_1BD})$
$=BD\times AC \times cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ or $cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$
$=0$
$\overrightarrow{BD}. \overrightarrow{AC}=0$.

On a les deux vecteurs suivants de même origine avec $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB_1}$ (en rouge)
Le projeté orthogonal de $B_1$ sur $(AB)$ est le point $H$ milieu de $[AB]$.

$\overrightarrow{OB}. \overrightarrow{AB}=AB\times AH=a\times \dfrac{a}{2}=\dfrac{a^2}{2}$