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On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $D=]-2;+\infty[$.
On a placé le point $A(-\dfrac{3}{2};-4)$ sur $\mathcal{C}_f$, et on a tracé la tangente $(T)$ à $\mathcal{C}_f$ en $A$.
Partie A
Par lecture graphique
On donne $f(x)=\dfrac{2x^{2}-x-8}{x+2}$
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On a placé le point $A(-\dfrac{3}{2};-4)$ sur $\mathcal{C}_f$, et on a tracé la tangente $(T)$ à $\mathcal{C}_f$ en $A$.
Partie A
Par lecture graphique
- Lire $f'(-\dfrac{3}{2})$.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Il faut utiliser le coefficient directeur de la tangente $T$$f'(-\dfrac{3}{2})$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $\dfrac{-3}{2}$
donc $f'(-\dfrac{3}{2})=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{-3}{0,5}=-6$
- Pour quel(s) $x \in ]-2;+\infty[$, on a $f'(x)=0$ ?
On donne $f(x)=\dfrac{2x^{2}-x-8}{x+2}$
- Montrer que $f'(x)=\dfrac{2x^{2}+8x+6}{(x+2)^{2}}$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=2x^2-x-8$ et $v(x)=x+2$On pose $u(x)= 2x^2-x-8 $ et $v(x)= x+2 $
et on a $u'(x)=4x-1 $ et $v'(x)= 1$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $D$ (avec$v(x)\neq 0$) et donc $f=\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $D$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{( 4x-1 )( x+2 )-( 2x^2-x-8 )\times 1 }{( x+2 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{4x^2+8x-x-2-2x^2+x+8 }{( x+2 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x^2+8x+6 }{( x+2 )^2}$
- Déterminer le signe de $f'(x)$.
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Le dénominateur est strictement positif donc $f'(x)$ est du signe de son numérateur$(x+2)^2>0$ sur $]-2;+\infty[$ donc $f'(x)$ est du même signe que $2x^2+8x+6$
$\Delta=b^2-4ac=8^2-4\times 2\times 6=16$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -8 +4 }{4 }=-1$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8 - 4 }{4 }=-3\notin ]-2:+\infty[$
- En déduire le tableau de variations de $f$.
Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$Tableau de signes de $f'(x)$ et tableau de variation de $f$
$f(-1)=\dfrac{2\times (-1)^{2}-(-1)-8}{-1+2}=-5$ - La fonction $f$ admet-elle un extremum ? Si oui, lequel ?
- Déterminer l'équation de la tangente $(D)$ à $C_{f}$
au point d'abscisse $0$, et la tracer sur le graphique ci-contre.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Il faut calculer $f'(0)$ et $f(0)$$f(0)=\dfrac{2\times 0^{2}-0-8}{0+2}=-4$
$f'(0)=\dfrac{2\times 0^{2}+8\times 0+6}{(0+2)^{2}}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$
$(D)$: $y=mx+p$ avec $m=f'(0)=\dfrac{3}{2}$
$B(0;f(0))\in (D)\Longleftrightarrow f(0)=\dfrac{3}{2}\times 0+p\Longleftrightarrow -4=p$
Calcul direct en utilisant $y=f'(0)(x-0)+f(0)=\dfrac{3}{2}x-4$
$(D)$ coupe l'axe des ordonnées en $y=-4$ (point de contact) et passe par le point d'abscisse $2$ et ordonnée $y=\dfrac{3}{2}\times 2-4=-1$
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