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Un transporteur, s'occupant de voyages organisés, achète en l'an 2000 (instant initial $x = 0$), un autocar nécessitant un investissement initial de $200$ milliers d'euros.
Partie A
Cet investissement se déprécie (perd de sa valeur). Sa dépréciation cumulée, en milliers d'euros, a l'instant $x$, mesuré en années, est notée $D(x)$. On pose $D(x)= 200\left(1 - e^{-0,086x}\right)$ pour tout réel $ x$ de l'intervalle I = [0 ; 13].
On donne ci-dessous la courbe représentative de $D$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

Déterminer graphiquement au cours de quelle année l'investissement aura perdu 60% de sa valeur (faire apparaître sur le graphique les tracés qui permettent d'obtenir la réponse).
60% de 200=$\dfrac{60\times 200}{100}=120$
$60$% de 200 $=\dfrac{60\times 200}{100}=120$
On aura perdu alors 120 milliers d'euros.
Il faut donc résoudre graphiquement $D(x)=120$.
Graphiquement, les solutions de l'équation $D(x)=120$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=120$
Soit $x\simeq 10,6 $ (en rouge sur le graphique)


Partie B
Le transporteur veut revendre l'autocar. On note $V(x)$ la valeur de l'autocar l'année $x$, $ 0 \leqslant x \leqslant 13$.
  1. Vérifier que $V(x) = 200 \times e^{-0,086x}$.
    La valeur de revente est la valeur initiale moins la perte de valeur
    La valeur de revente de l'autocar est la valeur de départ soit 200 milliers d'euros moins la dépréciation (perte de valeur) $D(x)$
    Soit $V(x)=200-200\left(1 - e^{-0,086x}\right)= 200\times e^{-0,086x}$
  2. Étudier le sens de variation de $V$ sur $[0 ; 13]$.

    Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$


    La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$

    La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$
    Il faut calculer $V'(x)$
    $e^{-0,086x}>0$ pour tout réel $x$
    Pour dériver $V$, on calcule la dérivée de $e^{-0,086x}$
    $V'(x)=200\times (-0,086)e^{-0,086x}=-17,2e^{-0,086x}$
    Pour tout réel $x$, $e^{-0,086x}>0$
    donc $V'(x)<0$
  3. Combien peut-on espérer revendre l'autocar au bout de $13$ ans de service ? (au millier d'euros près).
    Il faut calculer $V(13)$
    Il faut calculer $V(13)= 200\times e^{-0,086\times 13}\simeq 65 $ milliers d'euros arrondi au milliers d'euros près.
  4. Graphiquement, déterminer cours de quelle année l'autocar a-t-il perdu la moitié de sa valeur et contrôler avec la calculatrice ?
    On veut que la valeur de revente soit inférieure ou égale à 100
    Il faut résoudre graphiquement $V(x)=100$

    donc l'équation $V(x)=100$ admet une solution unique $\alpha$ comprise dans l'intervalle $[8;9]$.

    $V(8)= 200\times e^{-0,086\times 8}\approx 100,5$
    $V(9)= 200\times e^{-0,086\times 9}\approx 92,2$
    donc $V(8)>100$ et $V(9)<100$

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