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La fonction $f$ est définie par $f(x)=3xe^{2x}$.
On note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
  1. Donner l'ensemble de définition de $f$.

    Ensemble de définition


    L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
    Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.

    Fonction exponentielle


    Il existe une unique fonction notée $exp$ définie et dérivable sur $\R$ telle que $exp'(x)=exp(x)$ et $exp(0)=1$.
    Le nombre $e$ est limage de 1 par la fonction $exp$ soit $exp(1)=e$
    Notation $e^x$: $exp(x)$ se note aussi $e^x$.
    La fonction $exp$ est définie sur $\mathbb{R}$
  2. Calculer la dérivée de $f$.

    Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$


    La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$

    La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On pose $u(x)=3x$ et $v(x)=e^{2x}$
    On pose $u(x)=3x$ et $v(x)=e^{2x}$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$
    donc $f=u\times v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    $u'(x)=3$ et $v'(x)=2e^{2x}$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $~~~~~~~=3e^{2x}+3x\times 2e^{2x}$
    $~~~~~~~=3e^{2x}+6xe^{2x}$
    $~~~~~~~=e^{2x}(6x+3)$
  3. En déduire le tableau de variation de $f$.

    Signe de la dérivée et variations d'une fonction


    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
    $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
    $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$

    Signe de exp(x)


    Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$
    $e^{2x}>0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $6x+3$
    $e^{2x}>0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $6x+3$
    $6x+3>0 \Longleftrightarrow 6x>-3 \Longleftrightarrow x>\dfrac{-1}{2}$

    $f\left(\dfrac{-1}{2}\right)=3\times \dfrac{-1}{2}e^{-1}=\dfrac{-3}{2e}\approx -0,55$ (rappel $e^{-1}=\dfrac{1}{e^1}=\dfrac{1}{e}$)
  4. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $0$.

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$


    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
    Il faut calculer $f(0)$ et $f'(0)$
    $f(0)=3\times 0e^{2\times 0}=0$ (rappel $e^0=1$)
    $f'(0)=e^{2\times 0}(6\times 0+3)=3$
    $T$: $y=f'(0)(x-0)+f(0)=3x$
  5. Tracer $C_f$ et $T$ (unités 2cm pour l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées)
    Placer le minimum de $f$ et utiliser le MENU TABLE de la calculatrice pour placer suffisamment de points.
  6. Montrer que la courbe $C_f$ ne coupe l'axe des abscisses qu'au point $A$ d'abscisse $0$.
    On a $e^{2x}>0$
    $f(x)=0 \Longleftrightarrow 3xe^{2x}=0$
    $\phantom{f(x)=0} \Longleftrightarrow 3x=0$ ou $e^{2x}=0$
    $\phantom{f(x)=0} \Longleftrightarrow x=0$ car $e^{2x}>0$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Calculs de dérivées avec exponentielle

- rappels de cours
- dérivées avec $exp(x)$
- dérivées avec $exp(kx)$


infos: | mn |

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