Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!
Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
$a$est un réel positif.
Démontrer par récurrence que $(1+a)^n\geq 1+na$
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
Démontrer par récurrence que $(1+a)^n\geq 1+na$
Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
On peut noter $P_n$ la propriété $(1+a)^n\geq 1+na$
Vérifier que la propriété est vraie pour $n=0$
Pour justifier l'hérédité, on peut utiliser le fait que $(1+a)^{n+1}=(1+a)^n\times (1+a)$
Vérifier que la propriété est vraie pour $n=0$
Pour justifier l'hérédité, on peut utiliser le fait que $(1+a)^{n+1}=(1+a)^n\times (1+a)$
On peut noter $P_n$ la propriété $(1+a)^n\geq 1+na$ pour tout entier naturel $n$
-Initialisation
Pour $n=0$, on a $(1+a)^0=1$ (rappel $\alpha^0=1$ par convention)
et $1+0\times a=1$
donc la propriété $P_0$ est vraie.
- Hérédité
On suppose qu'il existe un entier naturel $n>0$ tel que $P_n$ soit vraie.
On a alors $(1+a)^n\geq 1+na$
$(1+a)^{n+1}=(1+a)^n\times (1+a)$
or$(1+a)^n\geq 1+na$
donc $(1+a)^n\times (1+a)\geq (1+na)(1+a)$
or $(1+na)(1+a)=1+a+na+a^2=1+(n+1)a+a^2$
donc $(1+na)(1+a)\geq 1+(n+1)a$ (car $a^2>0$)
donc $(1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1)a$ (propriété $P_{n+1}$)
On a donc montré que $P_0$ est vraie et que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie
-Initialisation
Pour $n=0$, on a $(1+a)^0=1$ (rappel $\alpha^0=1$ par convention)
et $1+0\times a=1$
donc la propriété $P_0$ est vraie.
- Hérédité
On suppose qu'il existe un entier naturel $n>0$ tel que $P_n$ soit vraie.
On a alors $(1+a)^n\geq 1+na$
$(1+a)^{n+1}=(1+a)^n\times (1+a)$
or$(1+a)^n\geq 1+na$
donc $(1+a)^n\times (1+a)\geq (1+na)(1+a)$
or $(1+na)(1+a)=1+a+na+a^2=1+(n+1)a+a^2$
donc $(1+na)(1+a)\geq 1+(n+1)a$ (car $a^2>0$)
donc $(1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1)a$ (propriété $P_{n+1}$)
On a donc montré que $P_0$ est vraie et que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.