Dans chaque cas, déterminer, si cela est possible $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{g(x)}$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{g(x)}{f(x)}$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$

1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=3$
   et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$

   Aide

   Utiliser les résultats des limites pour une somme, un produit et un quotient.
   Il faut essayer de déterminer ces limites de manière "intuitive" sans nécessairement connaître tous les résultats.
   Il faut par contre connaître les cas d'indétermination.

   Solution

   En utilisant le quotient des limites, on a:
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{3}$
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{g(x)}=0$
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{g(x)}{f(x)}=+\infty$
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$
2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0^+$
   et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$

   Rappel de cours

   Opérations sur les limites

   ---

   

   Solution

   En utilisant le quotient des limites, on a:
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty$
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{g(x)}=0$
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{g(x)}{f(x)}=-\infty$
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$
3. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0^+$
   et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=0^-$

   Rappel de cours

   Cas d'indétermination

   ---

   $+\infty-\infty$
   $0\times \pm \infty$
   $\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
   $\dfrac{0}{0}$
   Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...

   Solution

   En utilisant le quotient des limites, on a:
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty$
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{g(x)}=-\infty$
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{g(x)}{f(x)}$ est indéterminée
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ est indéterminée