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- Montrer que la somme de deux entiers impairs est paire.
- Montrer que la somme de deux entiers consécutifs n'est pas divisible par 2.
Si $n$ et $n+1$ sont deux entiers consécutifs, il y en a un pair et un impairSoit $n$ l'un des deux entiers et $n+1$ le suivant, l'un est pair et l'autre impair.
Supposons que $n$ est pair alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=2k$ et on a alors $n+1=2k+1$.
$n+n+1=2k+2k+1=4k+1=2(2k)+1=2K+1$ avec $K=2k$
donc $n+n+1$ est impair donc n'est pas divisible par $2$
- Montrer que le carré d'un entier pair est pair et que le carré d'un entier impair est impair.
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On pourra distinguer les cas $n=2k$ et $n=2k+1$ avec $k\in \mathbb{Z}$Premier cas $n$ est pair
donc il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=2k$
$n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)=2K$ avec $K=2k^2$ donc $K\in \mathbb{Z}$
donc $n^2$ est pair
Deuxième cas $n$ impair
donc il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=2k+1$
$n^2=(2k+1)^2$
$~~~~=(2k)^2+2\times 2k\times 1+1^2$
$~~~~~=4k^2+4k+1$
$~~~~~=2(2k^2+2k)+1$
$~~~~~=2K+1$ avec $K=2k^2+2k$ et $K\in \mathbb{Z}$
donc $n^2$ est impair
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