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- Décomposer $1960$ et $700$ en produit de facteurs premiers.
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout nombre entier naturel peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.
Cette décomposition est unique (si on ne tient pas compte de l'ordre des facteurs).
Méthode:
-On divise le nombre par $2$ jusqu'à ce que ce ne soit plus possible
-On divise par $3$ le nombre obtenu après les divisions par $2$ jusqu'à ce que ce ne soit plus possible
- et ainsi de suite avec les nombres premiers pris dans l'ordre croissant.Décomposition de $1960$:
Décomposition de $700$:
- En déduire le plus grand diviseur commun à $1960$ et $700$.
Multiple
Un nombre entier naturel $a$ est un multiple de $b \in \mathbb{N}^*$ ($b$ entier naturel non nul)si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$
On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$On peut utiliser les facteurs communs aux deux décompositions$1960=2^3\times5\times 7^2=2^2\times 2\times 5\times 7 $
et $700=2^2\times 5^2\times 7=2^2\times 5\times 7\times 5$
Le facteur commun à $1960$ et $700$ est $2^2\times 5\times 7=140$
On note $PGCD(1960;700)=140$ - Déterminer de même le plus petit multiple commun à $1960$ et $700$.
Il faut compléter les deux décompositions pour qu'elles soient identiques$1960=2^3\times 5 \times 7^2$
et $700=2^2\times 5^2\times 7$
Dans la première il faut donc ajouter le facteur $5$ pour obtenir $5^2$
et dans la seconde, il faut ajouter le facteur $2\times 7$ pour obtenir $2^3$ et $7^2$
donc $1960\times 5=2^3\times 5^2\times 7^2=9800$
et $700\times 2\times 7=2^3\times 5^2\times 7^2=9800$
On note $PPCM(1960;700)=9800$
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