Tracer $ABCD$ puis $[AC]$ et placer $E$ sur $[AC]$
Tracer les parallèles (onglet droites parallèle passant par un point) à $(AB)$ et $(CD)$ passant par E et marquer les points d'intersection $I$, $J$, $K$ et $L$ comme dans l'énoncé.

En déplaçant $E$ sur $[AC]$, il semble que $(IL)$ et $(KJ)$ soient parallèles quand $E$ est le point d'intersection des diagonales de $ABCD$.

Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$, on a $A(0;0)$ (origine du repère), $B(1;0)$, $D(0;1)$ et $C(1;1)$
$\overrightarrow{AC}(1;1)$
Soit $M(x;y)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AM}(x;y)$
$M\in (AC)$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AC}}y_{\overrightarrow{AM}}-y_{\overrightarrow{AC}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
$\Longleftrightarrow 1\times y-1\times x=0$
$\Longleftrightarrow -x+y=0$
$\Longleftrightarrow y=x$
donc une équation de (AC) est $y=x$

Une équation de (AC) est $y=x$ et $E\in (AC)$
donc $y_E=x_E=\alpha$
$E\in (AC)$ donc $\alpha \in ]0;1[$
E est un point du segment [AC] distinct de A et de C donc $x_E\neq 0$ soit $\alpha \in]0;1[$
$\alpha \in ]0;1[$ et $E(\alpha;\alpha)$

$(IJ)$ est parallèle à $(AB)$ donc $y _I=y_J=y_E=\alpha$
$I\in (AD)$ donc $x_I=0$ et $J\in (BC)$ donc $x_J=1$
donc $I(0;\alpha)$ et $J(1;\alpha)$
$(KL)$ est parallèle à $(AD)$ donc $x _K=x_L=x_E=\alpha$
$K\in (AB)$ donc $y_K=0$ et $L\in (CD)$ donc $y_L=1$
donc $K(\alpha;0)$ et $L(\alpha;1)$
$I(0;\alpha)$, $J(1;\alpha)$, $K(\alpha;0)$ et $L(\alpha;1)$}

$\overrightarrow{IL}$ est un vecteur directeur de $(IL)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{IL}}=x_L-x_I=\alpha \\ y_{\overrightarrow{IL}}=y_L-y_I=1-\alpha \end{cases}$
donc $\overrightarrow{IL}(\alpha;1-\alpha)$

Soit $M(x;y)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{IM}}=x_M-x_I=x \\ y_{\overrightarrow{IM}}=y_M-y_I=y -\alpha \end{cases}$
donc $\overrightarrow{IM}(x;y-\alpha)$
$M\in (IL)$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{IL}$ et $\overrightarrow{IM}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{IL}}y_{\overrightarrow{IM}}-y_{\overrightarrow{IL}}x_{\overrightarrow{IM}}=0$
$\Longleftrightarrow \alpha(y-\alpha)-(1-\alpha) x=0$
$\Longleftrightarrow \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0$
donc une équation de (IL) est $\alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0$

$\overrightarrow{JK}$ est un vecteur directeur de $(JK)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{JK}}=x_K-x_J=\alpha -1 \\ y_{\overrightarrow{JK}}=y_K-y_J=-\alpha \end{cases}$
donc $\overrightarrow{Jk}(\alpha-1;-\alpha)$

Soit $M(x;y)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{KM}}=x_M-x_K=x-\alpha \\ y_{\overrightarrow{KM}}=y_M-y_K=y \end{cases}$
donc $\overrightarrow{IM}(x-\alpha;y)$
$M\in (JK)$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{JK}$ et $\overrightarrow{KM}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{JK}}y_{\overrightarrow{KM}}-y_{\overrightarrow{JK}}x_{\overrightarrow{KM}}=0$
$\Longleftrightarrow (\alpha -1)y-(-\alpha) (x-\alpha)=0$
$\Longleftrightarrow \alpha y -y-\alpha^2+\alpha x=0$
donc une équation de (JK) est $\alpha y -y-\alpha^2+\alpha x=0$

$\overrightarrow{IL}(\alpha;1-\alpha)$ est un vecteur directeur de (IL)
$\overrightarrow{JK}(\alpha-1;-\alpha)$ est un vecteur directeur de $(JK)$
$(IL)$ et $(JK)$ sont parallèles
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{IL}$ et $\overrightarrow{JK}$ sont colinéaires

$\Longleftrightarrow det(\overrightarrow{IL};\overrightarrow{JK})=0$
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{JK}}y_{\overrightarrow{IL}}-y_{\overrightarrow{JK}}x_{\overrightarrow{IL}}=0$
$\Longleftrightarrow \alpha\times (-\alpha)-(1-\alpha) (\alpha-1)=0$
$\Longleftrightarrow -\alpha^2-\alpha+1+\alpha^2-\alpha=0$
$\Longleftrightarrow -2\alpha+1=0$
$\Longleftrightarrow \alpha =\dfrac{1}{2}$
donc $\alpha=\dfrac{1}{2}$ soit $x_E=y_E=\dfrac{1}{2}$
donc pour $I$ milieu de $[AD]$ et $K$ milieu de $[AB]$
$(IL)$ parallèle à $(JK)$ pour $M$ milieu de $[AC]$

une équation de $(IL)$ est $\alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0$
une équation de $(JK)$ est $\alpha y -y-\alpha^2+\alpha x=0$
$E$ distinct de $A$ et de $C$ donc $\alpha \neq 0$ et $\alpha \neq 1$
$\begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ \alpha y -y-\alpha^2+\alpha x=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x-\alpha y +y+\alpha^2-\alpha x=0 \phantom{test}L_1-L_2 \text{ On soustrait les deux lignes} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ -x+y=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ y=x \end{cases}$
donc le point N est tel que $x_N=y_N$
or une équation de $(AC)$ est $y=x$
donc $n\in (AC)$
A, C et N sont alignés