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$ABCD$ est un parallélogramme et $E$ est un point du segment $[AC]$ distinct de $A$ et de $C$.
La parallèle à $(AB)$ passant par E coupe respectivement $(AD)$ en $I$ et $(BC)$ en $J$.
La parallèle à $(AD)$ passant par $E$ coupe respectivement $(AB)$ en $K$ et $(CD)$ en $L$.

  1. Construire la figure avec le logiciel GEOGEBRA puis déplacer le point $E$ sur $[AC]$.
    Pour quelle position du point $E$ sur $[AC]$ la droite $(IL)$ semble-t-elle parallèle à $(KJ)$?
    Construire le parallélogramme ABCD puis tracer [AC]
    Placer le point E sur [AC] puis tracer les parallèles à (AB) et (AD) passant par E et marquer les points I, J, K et L
    Tracer $ABCD$ puis $[AC]$ et placer $E$ sur $[AC]$
    Tracer les parallèles (onglet droites parallèle passant par un point) à $(AB)$ et $(CD)$ passant par E et marquer les points d'intersection $I$, $J$, $K$ et $L$ comme dans l'énoncé.

    En déplaçant $E$ sur $[AC]$, il semble que $(IL)$ et $(KJ)$ soient parallèles quand $E$ est le point d'intersection des diagonales de $ABCD$.
  2. Pour toute la suite, on se place dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$.
    Donner sans justifier les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$ puis déterminer une équation de la droite $(AC)$.

    Déterminer une équation cartésienne


    Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
    Méthode 1
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
    - $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$

    Méthode 2
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
    - $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)
    M(x;y) appartient à la droite (AC) si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
    Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$, on a $A(0;0)$ (origine du repère), $B(1;0)$, $D(0;1)$ et $C(1;1)$
    $\overrightarrow{AC}(1;1)$
    Soit $M(x;y)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AM}(x;y)$
    $M\in (AC)$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires
    $\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AC}}y_{\overrightarrow{AM}}-y_{\overrightarrow{AC}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
    $\Longleftrightarrow 1\times y-1\times x=0$
    $\Longleftrightarrow -x+y=0$
    $\Longleftrightarrow y=x$
  3. On note $\alpha$ l'abscisse de $E$, en déduire les coordonnées de $E$ et donner un encadrement de $\alpha$
    Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient une équation de cette droite
    Une équation de (AC) est $y=x$ et $E\in (AC)$
    donc $y_E=x_E=\alpha$
    $E\in (AC)$ donc $\alpha \in ]0;1[$
    E est un point du segment [AC] distinct de A et de C donc $x_E\neq 0$ soit $\alpha \in]0;1[$
  4. Donner sans justifier les coordonnées des points I, J, K et L en fonction de $\alpha$
    (IJ) est parallèle à (AB) et $I\in (AD)$ (axe des ordonnées) et $J\in (BC)$ avec $x_C=x_B=x_J$ car (BC) est parallèle à (AD)
    $(IJ)$ est parallèle à $(AB)$ donc $y _I=y_J=y_E=\alpha$
    $I\in (AD)$ donc $x_I=0$ et $J\in (BC)$ donc $x_J=1$
    donc $I(0;\alpha)$ et $J(1;\alpha)$
    $(KL)$ est parallèle à $(AD)$ donc $x _K=x_L=x_E=\alpha$
    $K\in (AB)$ donc $y_K=0$ et $L\in (CD)$ donc $y_L=1$
    donc $K(\alpha;0)$ et $L(\alpha;1)$
  5. Déterminer une équation de la droite $(IL)$ puis de la droite $(JK)$.
    $\overrightarrow{IL}$ est un vecteur directeur de la droite (IL). $\overrightarrow{JK}$ est un vecteur directeur de la droite (JK).
    $\overrightarrow{IL}$ est un vecteur directeur de $(IL)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{IL}}=x_L-x_I=\alpha \\ y_{\overrightarrow{IL}}=y_L-y_I=1-\alpha \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{IL}(\alpha;1-\alpha)$

    Soit $M(x;y)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{IM}}=x_M-x_I=x \\ y_{\overrightarrow{IM}}=y_M-y_I=y -\alpha \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{IM}(x;y-\alpha)$
    $M\in (IL)$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{IL}$ et $\overrightarrow{IM}$ colinéaires
    $\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{IL}}y_{\overrightarrow{IM}}-y_{\overrightarrow{IL}}x_{\overrightarrow{IM}}=0$
    $\Longleftrightarrow \alpha(y-\alpha)-(1-\alpha) x=0$
    $\Longleftrightarrow \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0$


    $\overrightarrow{JK}$ est un vecteur directeur de $(JK)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{JK}}=x_K-x_J=\alpha -1 \\ y_{\overrightarrow{JK}}=y_K-y_J=-\alpha \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{Jk}(\alpha-1;-\alpha)$

    Soit $M(x;y)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{KM}}=x_M-x_K=x-\alpha \\ y_{\overrightarrow{KM}}=y_M-y_K=y \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{IM}(x-\alpha;y)$
    $M\in (JK)$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{JK}$ et $\overrightarrow{KM}$ colinéaires
    $\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{JK}}y_{\overrightarrow{KM}}-y_{\overrightarrow{JK}}x_{\overrightarrow{KM}}=0$
    $\Longleftrightarrow (\alpha -1)y-(-\alpha) (x-\alpha)=0$
    $\Longleftrightarrow \alpha y -y-\alpha^2+\alpha x=0$
  6. Prouver la conjecture émise à la question 1: c'est à dire $(IL)$ et $(JK)$ parallèles quand $E$ est au centre du parallélogramme.
    (IL) et (JK) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
    $\overrightarrow{IL}(\alpha;1-\alpha)$ est un vecteur directeur de (IL)
    $\overrightarrow{JK}(\alpha-1;-\alpha)$ est un vecteur directeur de $(JK)$
    $(IL)$ et $(JK)$ sont parallèles
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{IL}$ et $\overrightarrow{JK}$ sont colinéaires

    $\Longleftrightarrow det(\overrightarrow{IL};\overrightarrow{JK})=0$
    $\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{JK}}y_{\overrightarrow{IL}}-y_{\overrightarrow{JK}}x_{\overrightarrow{IL}}=0$
    $\Longleftrightarrow \alpha\times (-\alpha)-(1-\alpha) (\alpha-1)=0$
    $\Longleftrightarrow -\alpha^2-\alpha+1+\alpha^2-\alpha=0$
    $\Longleftrightarrow -2\alpha+1=0$
    $\Longleftrightarrow \alpha =\dfrac{1}{2}$
    donc $\alpha=\dfrac{1}{2}$ soit $x_E=y_E=\dfrac{1}{2}$
    donc pour $I$ milieu de $[AD]$ et $K$ milieu de $[AB]$
  7. Si $x_E\neq \dfrac{1}{2}$, on note $N$ le point d'intersection de $(IL)$ et $(JK)$.
    Montrer que $A$, $C$ et $N$ sont alignés
    une équation de $(IL)$ est $\alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0$
    une équation de $(JK)$ est $\alpha y -y-\alpha^2+\alpha x=0$
    $E$ distinct de $A$ et de $C$ donc $\alpha \neq 0$ et $\alpha \neq 1$
    $\begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ \alpha y -y-\alpha^2+\alpha x=0 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x-\alpha y +y+\alpha^2-\alpha x=0 \phantom{test}L_1-L_2 \text{ On soustrait les deux lignes} \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ -x+y=0 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ y=x \end{cases}$
    donc le point N est tel que $x_N=y_N$
    or une équation de $(AC)$ est $y=x$
    donc $n\in (AC)$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Systèmes d'équations

- résolution par substitution
- résolution par combinaisons
- intersection de deux droites


infos: | 15-20mn |

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