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Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on donne $A(2;3)$, $B(-2;1)$ et $C(4;-2)$.
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- Montrer que $ACBF$ est un parallélogramme avec $F(-4;6)$.
Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)On veut que les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{FB}$ soient égaux donc qu'ils aient les mêmes coordonnées.
Il faut calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{FB}$$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=4-2=2\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-2-3=-5 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AC}(2;-5)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{FB}}=x_B-x_F=-2-(-4)=2\\ y_{\overrightarrow{FB}}=y_B-y_F=1-6=-5 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{FB}(2;-5)$
Les deux vecteurs ont les même coordonnées donc $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{FB}$
- Calculer les coordonnées du point $D$ image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
On veut que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ soient égaux donc qu'ils aient les mêmes coordonnées.
Il faut calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ avec $D(x;y)$$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-2-2=-4\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-3=-2 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AB}(-4;-2)$
On pose $D(x;y)$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{CD}}=x_D-x_C=x-4\\ y_{\overrightarrow{CD}}=y_D-y_C=y-(-2)=y+2 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{CD}(x-4;y+2)$
$D$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{CD}}=x_{\overrightarrow{AB}}\\ y_{\overrightarrow{CD}}=y_{\overrightarrow{AB}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x-4=-4\\ y+2=-2 \end{cases} $
$\phantom{\begin{cases} x_{\overrightarrow{CD}}=x_{\overrightarrow{AB}}\\ y_{\overrightarrow{CD}}=y_{\overrightarrow{AB}} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=0\\ y=-4 \end{cases} $
On a donc $ABDC$ parallélogramme. - Calculer les coordonnées du point $E$ tel que $ABCE$ parallélogramme.
On veut que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EC}$ soient égaux donc qu'ils aient les mêmes coordonnées.
Il faut calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EC}$ avec $E(x;y)$
au sens des vecteurs$\overrightarrow{AB}(-4;-2)$
On pose $E(x;y)$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{EC}}=x_C-x_E=4-x\\ y_{\overrightarrow{EC}}=y_C-y_E=-2-y \end{cases}$ donc $\overrightarrow{EC}(4-x;-2-y)$
$ABCE$ parallélogramme.
donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_{\overrightarrow{EC}}\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_{\overrightarrow{EC}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -4=4-x\\ -2=-2-y \end{cases} $
$\phantom{\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_{\overrightarrow{AB}}\\ y_{\overrightarrow{CD}}=y_{\overrightarrow{AB}} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=8\\ y=0 \end{cases} $
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Vecteurs et parallélogrammes dans un repère
- montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme dans un repère
- calculer les coordonnées du quatrième sommet d'un parallélogramme
- coordonnées du symétrique d'un point
infos: | 10-15mn |
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