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Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos
  1. maths seconde
  2. chapitre 3 Calculs et équations
  3. exercice corrigé nº217

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Un avion de ligne effectue des allers-retours entre Paris et Londres. La distance séparant les deux aéroports est de 400 km.
Il part à 10 h de Paris, s'arrête 1 heure à Londres et retourne ensuite à Paris.
Au retour, le vent est favorable et sa vitesse moyenne est alors augmentée de 30 kmh$^{-1}$.
Il atterrit à Paris à 12h30mn.
  1. Si on note $v$ sa vitesse moyenne en kmh$^{-1}$ et $t$ le temps de trajet en heures lors du trajet Paris-Londres, montrer que l'on doit avoir les équations:
    $E_1$: $400=vt$ et $E_2$: $400=(v+30)(1,5-t)$

    Aide

    Rappel: la distance parcourue est égale au produit de la vitesse par le temps de parcours soit $d=v\times t$ aux unités utilisées

    Solution

    Pour le trajet aller, la vitesse moyenne est $v$ et le temps de parcours $t$ donc on a:
    $400=vt$
    Pour le trajet retour, on a une vitesse moyenne $v'=v+30$ et le temps de parcours est $t'$.
    Le temps total est de 2h30mn avec une heure d'arrêt donc le temps total de vol est de 1h30mn.
    1h30mn correspond à 1h+$\dfrac{30}{60}=1,5$ heures.
    Le temps de vol retour est donc $t'=1,5-t$.
    on a donc $E_2$: $400=v't'=(v+30)\times (1,5-t)$
  2. Montrer que $t$ doit vérifier l'équation $6t^2+151t-120=0$.

    Aide

    Isoler $v$ dans $E_1$ et le remplacer dans $E_2$.
    Développer et simplifier l'équation obtenue.

    Solution

    $E_1 \Longleftrightarrow v=\dfrac{400}{t}$.
    En remplaçant $v$ dans $E_2$, on a:
    $400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t) \Longleftrightarrow 400=\left(\dfrac{400+30t}{t}\right)(1,5-t) $
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 400=\dfrac{(400+30t)(1,5-t)}{t}$
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 400=\dfrac{600-400t+45t-30t^2}{t}$
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 400t=600-400t+45t-30t^2$
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 400t-600+400t-45t+30t^2=0$
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 30t^2+755t-600=0$ (on peut diviser les deux membres par 5)
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 6t^2+151t-120=0$
  3. Montrer que pour tout réel $t$ on a $t^2+\dfrac{151}{6}t-20=\left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\dfrac{25681}{144}$

    Rappel de cours

    Identités remarquables

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

    Aide

    On peut développer $\left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\dfrac{25681}{144}$

    Solution

    $\left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\dfrac{25681}{144}$
    $=t^2+2\times t\times \dfrac{151}{12}+\dfrac{151^2}{12^2}-\dfrac{25681}{144}$
    $=t^2+\dfrac{151}{6}t+\dfrac{22801}{144}-\dfrac{25681}{144}$
    $=t^2+\dfrac{151}{6}t-\dfrac{2880}{144}$
    $=t^2+\dfrac{151}{6}t-20$
  4. En déduire la solution du problème posé arrondie à la minute près.

    Aide

    On peut diviser les termes de $6t^2+151t-20=0$ par $6$
    On peut factoriser en utilisant la troisième identié remarquable $\left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}^2$

    Solution

    On doit résoudre $6t^2+151t-120=0$ soit $t^2+\dfrac{151}{6}t-20=0$ en divisant tous les termes par $6$.
    $t^2+\dfrac{151}{6}t-20=0$
    $\Longleftrightarrow \left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\dfrac{25681}{144}=0$
    $\Longleftrightarrow \left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}^2=0$
    $\Longleftrightarrow \left( t+\dfrac{151}{12}-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}\right)\left( t+\dfrac{151}{12}+\sqrt{\dfrac{25681}{144}}\right)=0$ (troisième identité remarquable avec $a=t+\dfrac{151}{12}$ et $b=\sqrt{\dfrac{25681}{144}}$
    $\Longleftrightarrow t+\dfrac{151}{12}-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}=0$ ou $t+\dfrac{151}{12}+\sqrt{\dfrac{25681}{144}}=0$
    $\Longleftrightarrow t=-\dfrac{151}{12}+\sqrt{\dfrac{25681}{144}}$ ou $t=-\dfrac{151}{12}-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}$
    or $-\dfrac{151}{12}-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}$ est négatif (somme de deux nombres négatifs) et $t$ est un temps donc positif
    donc $t=-\dfrac{151}{12}+\sqrt{\dfrac{25681}{144}}=-\dfrac{151}{12}+\dfrac{\sqrt{25681}}{12}=\dfrac{-151+\sqrt{25681}}{12}$ heures
    soit $\dfrac{-151+\sqrt{25681}}{12}\times 60\approx 46,26$mn


    Avec le MENU équation de la calculatrice, en sélectionnant POLY puis degré 2 et en saisissant les coefficients $a=6$, $b=151$ et $c=-20$ de l'équation $6t^2+151t-20=0$, on peut contrôler la solution obtenue.


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