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Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations suivantes:
penser à contrôler avec la calculatrice la ou les solutions obtenues.
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penser à contrôler avec la calculatrice la ou les solutions obtenues.
- $x^2-4x+4-(x-2)(2x+3)=0$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On peut utiliser la seconde identité remarquable pour factoriser $x^2-4x+4$$x^2-4x+4-(x-2)(2x+3)=0 \Longleftrightarrow (x-2)^2-(x-2)(2x+3)=0$
$\phantom{x^2-4x+4-(x-2)(2x+3)=0} \Longleftrightarrow (x-2)\left[(x-2)-(2x+3)\right]=0$ $(x-2)^2=(x-2)(x-2)$
$\phantom{x^2-4x+4-(x-2)(2x+3)=0} \Longleftrightarrow (x-2)(x-2-2x-3)=0$
$\phantom{x^2-4x+4-(x-2)(2x+3)=0} \Longleftrightarrow (x-2)(-x-5)=0$
$\phantom{x^2-4x+4-(x-2)(2x+3)=0} \Longleftrightarrow x-2=0$ ou $-x-5=0$
$\phantom{x^2-4x+4-(x-2)(2x+3)=0} \Longleftrightarrow x=2$ ou $-x=5$
$\phantom{x^2-4x+4-(x-2)(2x+3)=0} \Longleftrightarrow x=2$ ou $x=-5$
- $(x-1)^2-(2x+3)^2=0$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Il factoriser en utilisant la troisième identité remarquable.$(x-1)^2-(2x+3)^2=0 \Longleftrightarrow \left[(x-1)+(2x+3)\right]\left[(x-1)-(2x+3)\right]=0$
$\phantom{(x-1)^2-(2x+3)^2=0} \Longleftrightarrow \left[x-1+2x+3\right]\left[x-1-2x-3\right]=0$
$\phantom{(x-1)^2-(2x+3)^2=0} \Longleftrightarrow \left[3x+2\right]\left[-x-4\right]=0$
$\phantom{(x-1)^2-(2x+3)^2=0} \Longleftrightarrow 3x+2=0$ ou $-x-4=0$
$\phantom{(x-1)^2-(2x+3)^2=0} \Longleftrightarrow 3x=-2$ ou $-x=4$
$\phantom{(3x-1)(2x+3)=2x+3} \Longleftrightarrow x=\dfrac{-2}{3}$ ou $x=-4$
- $x^2+6x+9-4x(x+3)=x^2-9$
On peut factoriser $x^2+6x+9$ avec la première identité remarquable
On peut factoriser $x^2-9$ avec la troisième identité remarquable
On peut ensuite factoriser par $x+3$$x^2+6x+9-4x(x+3)=x^2-9 \Longleftrightarrow (x+3)^2-4x(x+3)=(x-3)(x+3)$
$\phantom{x^2+6x+9-4x(x+3)=x^2-9 }\Longleftrightarrow (x+3)^2-4x(x+3)-(x-3)(x+3)=0$
$\phantom{x^2+6x+9-4x(x+3)=x^2-9 }\Longleftrightarrow (x+3)\left[(x+3)-4x-(x-3)\right]=0$
$\phantom{x^2+6x+9-4x(x+3)=x^2-9 }\Longleftrightarrow (x+3)(x+3-4x-x+3)=0$
$\phantom{x^2+6x+9-4x(x+3)=x^2-9 }\Longleftrightarrow (x+3)(-4x+6)=0$
$\phantom{x^2+6x+9-4x(x+3)=x^2-9 }\Longleftrightarrow x+3=0$ ou $-4x+6=0$
$\phantom{x^2+6x+9-4x(x+3)=x^2-9 }\Longleftrightarrow x=-3$ ou $-4x=-6$
$\phantom{x^2+6x+9-4x(x+3)=x^2-9}\Longleftrightarrow x=-3$ ou $x=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$
$ (x+3)^2-4x(x+3)=(x-3)(x+3)\Longleftrightarrow (x+3)-4x=1$ en divisant les deux membres par $x+3$ ( on ne peut pas diviser par 0)
En effet, on ne peut affirmer que $x+3\neq 0$ puisque la valeur de $x$ n'est pas connue.
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