Exercice 894

Distance point-plan et application au calcul du volume d'un tétraèdre

Contenu

- produit scalaire en utilisant les différentes expressions
- nature d'un triangle, produit scalaire nul
- justifier qu'un vecteur est normal à un plan défini par trois points
- calcul du volume d'un tétraèdre et projeté orthogonal d'un point sur le plan de base

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Dans un repère orthonormé de l'espace, le plan $P$ a pour équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ et $A(x_A;y_A;z_A)$ est un point de l'espace.
On note $H$ l'intersection de la droite $\Delta$ passant par $A$ et orthogonale au plan $P$.
  1. Montrer que $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AH}=-ax_A-by_A-cz_A-d$ avec $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$ vecteur normal au plan $P$
    $H(x_H;y_H;z_H)$ appartient à $P$ donc $ax_H+by_H+cz_H+d=0$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AH}}=x_H-x_A\\ y_{\overrightarrow{AH}}=y_H-y_A\\ z_{\overrightarrow{AH}}=z_H-z_A \end{cases}$
    $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AH}=a\times (x_H-x_A)+b(y_H-y_A)+c(z_H-z_A)$
    $\phantom{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AH}}=ax_H-ax_A+by_H-by_A+cz_H-cz_A$
    $\phantom{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AH}}=ax_H+by_H+cz_H-x_A-by_A-cz_A$
    $H\in P$ donc $ax_H+by_H+cz_H+d=0$ soit $ax_H+by_H+cz_H=-d$
    donc $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AH}=-d-ax_A-by_A-cz_A$

    donc $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AH}=-ax_A-by_A-cz_A-d$
  2. Montrer que $|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AH}|=AH\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
    Les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires donc $(\overrightarrow{n},\overrightarrow{AH})=0$ ($\pi$)
    donc $cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{AH})=1$ ou bien $cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{AH})-1$
    Si on pose $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}$, les vecteurs $\overrightarrow{n}$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires et donc $A$, $B$ et $H$ sont alignés.
    on a donc $cos(\widehat{BAC})=1$ ou $cos(\widehat{BAC})=-1$
    donc $|cos(\widehat{BAC})|=1$
    $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AH}=||\overrightarrow{n} ||\times AH cos (\widehat{BAC})$
    $||\overrightarrow{n}||=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
    donc $|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AH}|=||\overrightarrow{n} ||\times AH |cos (\widehat{BAC})|=AH\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

    $|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AH}|=AH\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
  3. En déduire l'expression de $AH$ en fonction des coordonnées de $A$ et de $\overrightarrow{n}$.
    Il faut utiliser les deux résultats précédents de $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AH}$

  4. Application
  5. Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(2;1;3)$, $B(3;4;1)$ et $C(4;-1;1)$.
    1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
      Il faut vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
    2. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
      Il faut vérifier que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
    3. Soit $D(4;4;6)$, calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.
      Le volume d'un tétraèdre est donné par $V=\dfrac{\text{Aire de la bas}\times \text{hauteur}}{3}$
      Il faut calculer la hauteur du tétraèdre c'est à dire la distance entre le point $D$ et le projeté orthognal $H$ de $D$ sur $(ABC)$


 
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