Exercice 892

Utisation d'un repère dans un cube, intersections de plans et droites (ex8-9-1 avec un repère)

Contenu

- montrer que deux droites sont orthogonales, produit scalaire nul
- déterminer une équation cartésienne d'un plan avec un vecteur normal
- intersection d'un plan et d'une droite (représentation paramétrique d'une droite)

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$ABCDEFGH$ est un cube.

$I$ est le point d'intersection de la droite $(EC)$ et du plan $(AFH)$.
Pour toute la suite, on considère le repère $(A;B;D;E)$ de l'espace.
  1. Quelle est la nature du repère $(A;B;D;E)$?
    Les faces sont des carrés et on a donc des arêtes perependiculaires deux à deux et de même longueur.
    $ABCDEFGH$ est un cube donc $(AB)\perp (AD)$ et $(AB)\perp (AE)$ et $(AD)\perp (AE)$
    et $AB=AD=AE$

    donc le repère $(A;B;D;E)$ est un repère orthonormé de l'espace.
  2. Donner (sans justifier) les coordonnées des sommets du cube.
    Les côtés $[AB]$, $[AD]$ et $[AE]$ sont orthogonaux deux à deux et de même longueur.
    $A$ est l'origine du repère donc $A(0;0;0)$.
    $(AB)$ défini l'axe des abscisses et $[AB]$ est l'unité de longueur donc $B(1;0;0)$.
    De même, $D(0;1;0)$ et $E(0;0;1)$.
    $C(1;1;0)$, $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $H(0;1;1)$.
  3. Montrer que droites $(EC)$ et $(AF)$ sont orthogonales.
    Il faut calculer $\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}$
  4. Montrer que droites $(EC)$ et $(AH)$ sont orthogonales.
    Il faut calculer $\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}$
  5. Montrer alors que $I$ est le projeté orthogonal de $E$ sur $(AFH)$.
    Il faut montrer que $(EC)$ donc $(EI)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(AFH)$.
  6. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EC)$.
    Il faut calculer les coordonnées du vecteur directeur $\overrightarrow{EC}$ de $(EC)$
  7. Déterminer une équation cartésienne du plan $(AFH)$.
    Le vecteur $\overrightarrow{EC}$ est un vecteur normal au plan $(AFH)$ puisque $(EC)$ est orthogonale au plan $(AFH)$
  8. Déterminer alors les coordonnées de $I$ intersection de $(EC)$ et de $(AFH)$.
    Il faut écrire une équation d'inconnue $t$ en remplaçant dans l'équation de $(AFH)$ les expressions de $x$, $y$ et $z$ données avec la représentation paramétrique de $(EC)$.
  9. En déduire que $I$ est le centre de gravité du triangle $AFH$.
    Rappel: Si $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ on a $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$
    \rightleftharpoons


 
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