Exercice 878

Equation d'un plan avec un paramètre

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- équation cartésienne d'un plan avec un paramètre

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Dans un repère orthonormé $(O;I;J;K)$ de l'espace, on considère le plan $P$ d'équation cartésienne $2x+my-4z+1=0$ avec $m\in \mathbb{R}$.
  1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point $A(2;-1;3)$ appartient-il à $P$?
    Les coordonnées de $A$ doivent vérifier l'équation de $P$.
    $A \in P \Longleftrightarrow 2x_A+my_A-4z_A+1=0$
    $\phantom{A\in P} \Longleftrightarrow 2\times 2+m\times (-1)-4\times 3+1=0$
    $\phantom{A\in P} \Longleftrightarrow 4-m-12+1=0$
    $\phantom{A\in P} \Longleftrightarrow m=-7$

    $A$ appartient à $P$ d'équation $2x-7y-4z+1=0$
  2. Déterminer $m$ pour que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -4\\ 8\\ 2 \end{pmatrix}$ soit un vecteur normal au plan $P$.
    On peut utiliser les coefficients de $P$ pour donner les coordonnées d'un vecteur normal au plan $P$ et celui-ci doit être colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n}$
  3. Soit $P'$ d'équation $3x+2y-4z+6=0$, déterminer $m$ pour que les plans $P$ et $P'$ soient orthogonaux.
    Les vecteurs normaux aux plans $P$ et $P'$ doivent être orthgonaux


 
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