Exercice 877

Plans parallèles, équation d'un plan et intersection de deux plans

Contenu

- équation cartésienne d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
- équation d'un plan parallèle à un autre
- intersection de deux plans: représentation paramétrique d'une droite

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Dans un repère orthonormé $(O;I;J;K)$ de l'espace, On considère le plan $P$ d'équation $2x+3y+z-6=0$.
  1. Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n} $ normal au plan $P$.

    $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$ (coefficients de $x$, $y$ et $z$) est un vecteur normal au plan $P$.
  2. On considère le plan $P'$ passant par $A(2;-1;3)$ et de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1\\ -3\\ 2 \end{pmatrix}$ .
    Déterminer une équation cartésienne de $P'$.
    Un point $M(x;y;z)$ appartient au plan $P'$ si il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{AM}=\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}$
    On peut exprimer alors $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $x$, $y$ et $z$
    Autre méthode: On peut chercher les coordonnées d'un vecteur normal au plan $P'$ donc orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$
    Soit $\overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} n_1\\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix}$ un vecteur normal au plan $P'$.
    $\overrightarrow{n'}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$
    donc $\overrightarrow{n'}.\overrightarrow{u}=0$ soit $2n_1-n_2+3n_3=0$
    et $\overrightarrow{n'}.\overrightarrow{v}=0$ soit $n_1-3n_2+2n_3=0$
    On peut choisir arbitrairement $n_3=1$ et résoudre le système suivant pour déterminer $n_1$ et $n_2$.
    $\begin{cases} 2n_1-n_2+3=0\\ n_1-3n_2+2=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} n_2=2n_1+3\\ n_1-3(2n_1+3)+2=0 \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} 2n_1-n_2+3=0\\ n_1-3n_2+2=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} n_2=2n_1+3\\ n_1-6n_1-9+2=0 \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} 2n_1-n_2+3=0\\ n_1-3n_2+2=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} n_2=2n_1+3\\ -5n_1=7 \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} 2n_1-n_2+3=0\\ n_1-3n_2+2=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} n_2=2\times \dfrac{-7}{5}+3\\ n_1=\dfrac{-7}{5} \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} 2n_1-n_2+3=0\\ n_1-3n_2+2=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} n_2=\dfrac{1}{5}\\ n_1=\dfrac{-7}{5} \end{cases} $
    donc $\overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}\dfrac{-7}{5}\\ \dfrac{1}{5}\\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P'$.
    On peut prendre pour vecteur normal au plan $P'$ tout vecteur $\overrightarrow{n_1'}$ colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n'}$
    soit $\overrightarrow{n_1'}=5\overrightarrow{n'}$ (pour se débarrasser des fractions)
    donc $\overrightarrow{n_1'}\begin{pmatrix} -7\\ 1\\ 5 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P'$
    donc une équation de $P'$ est de la forme $-7x+y+5z+d'=0$
    le point $A(2;-1;3)\in P'$ donc on a:
    $-7x_A+y_A+5z_A+d'=0 \Longleftrightarrow -7\times 2-1+5\times 3+d'=0$
    $\phantom{-7x_A+y_A+5z_A+d'=0} \Longleftrightarrow -14-1+15+d'=0$
    $\phantom{-7x_A+y_A+5z_A+d'=0} \Longleftrightarrow d'=0$

    $-7x+y+5z=0$ est une équation cartésienne de $P'$.
  3. Déterminer une équation cartésienne du plan $P''$ parallèle au plan $P$ et passant par $A$.
    Un vecteur normal au plan $P$ est aussi un vecteur normal au plan $P''$
  4. Déterminer la représentation paramétrique de la droite $d$ intersection des plans $P$ et $P'$.
    Les points d'intersection de $P$ et $P'$ vérifient les équations des deux plans.
    On peut exprimer $x$ et $y$ en fonction de $z$ par exemple
  5. Déterminer alors une représentation paramétrique de $d'$ intersection des plans $P'$ et $P''$.
    Les plans $P$ et $P''$ sont parallèles et $d$ est l'intersection de $P$ et $P'$.


 
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