Exercice 876

Intersection de deux plans

Contenu

- représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans définis par leurs équations cartésiennes
- point d'intersection de trois plans

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
Dans un repère orthonormé $(O;I;J;K)$ de l'espace, On considère les plans $P$ et $P'$ d'équations respectives $x+y+z=0$ et $2x+3y+z-4=0$.
  1. Déterminer une représentation paramétrique de $d$ intersection de $P$ et $P'$.
    Les points d'intersection de $P$ et $P'$ vérifient les équations des deux plans.
    On peut exprimer $x$ et $y$ en fonction de $z$ par exemple
    Les points d'intersection de $P$ et $P'$ vérifient les équations des deux plans donc on a:
    $\begin{cases} x+y+z=0\\ 2x+3y+z-4=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=-y-z\\ 2(-y-z)+3y+z-4=0 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} x+y+z=0\\ 2x+3y+z-4=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=-y-z\\ -2y-2z+3y+z-4=0 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} x+y+z=0\\ 2x+3y+z-4=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=-y-z\\ y-z-4=0 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} x+y+z=0\\ 2x+3y+z-4=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=-(z+4)-z\\ y=z+4 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} x+y+z=0\\ 2x+3y+z-4=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=-2z-4\\ y=z+4 \end{cases}$
    On prend $t=z$ et on a alors $\begin{cases} x=-2t-4\\ y=t+4\\ z=t \end{cases}$

    Une représentation paramétrique de $d$ est $\begin{cases} x=-2t-4\\ y=t+4\\ z=t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$
  2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection $A$ de $P$, $P'$ et du plan $(O;I;J)$.
    $A$ appartient à la droite $d$ et au plan $(O;I;J)$ donc $z_A=0$


 
Haut de page