Exercice 873

Equation d'un plan défini par trois points

Contenu

- points alignés et vecteurs colinéaires
- équation cartésienne d'un plan défini par trois points.

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Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1;1;3)$, $B(-3;1;1)$ et $C(-1;0;1)$.
  1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
    Il faut vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-3-1=-4\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-1=0\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=1-3=-2 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4\\ 0\\ -2 \end{pmatrix} $
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=-1-1=-2\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=0-1=-1\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=1-3=-2 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2\\ -1\\ -2 \end{pmatrix} $
    $2x_{\overrightarrow{AC}}=2\times (-2)=-4=x_{\overrightarrow{AB}}$
    $2y_{\overrightarrow{AC}}=2\times (-1)=-2\neq y_{\overrightarrow{AB}}$
    donc il n'existe pas de réel $k$ tel que $k \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés

    donc $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
  2. Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -2 \end{pmatrix} $ est un vecteur normal au plan $(ABC)$
    Il faut vérifier que le vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
  3. En déduire une équation cartésienne de $(ABC)$.
    Les coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans $ax+by+cz+d=0$ sont donnés par les coordonnées d'un vecteur normal au plan $(ABC)$ et on détermine $d$ en utilisant les coordonnées du point $A$ par exemple


 
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