Exercice 872

Intersection d'un plan avec les axes du repère et avec une droite

Contenu

- équation cartésienne d'un plan
- coordonnées des points d'intersection d'un plan et des axes du repère
- intersection d'une droite et d'un plan (représentation paramétrique et équation cartésienne)

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Dans un repère orthonormé de l'espace, le plan $P$ a pour équation $3x-2y+4z-5=0$.
  1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du plan $P$ avec chacun des axes du repère.
    Si le points $A$ appartient à l'axe des abscisses alors $A(x;0;0)$...
    Soit $A$ le point d'intersection du plan $P$ et de l'axe des abscisses alors $A(x_A;0;0)$.
    $A\in P \Longleftrightarrow 3x_A-2y_A+4z_A-5=0\Longleftrightarrow 3x_A-5=0\Longleftrightarrow x_A=\dfrac{5}{3}$
    Soit $B$ le point d'intersection du plan $P$ et de l'axe des ordonnées alors $B(0;y_B;0)$.
    $B\in P \Longleftrightarrow 3x_B-2y_B+4z_B-5=0\Longleftrightarrow -2y_B-5=0\Longleftrightarrow y_B=\dfrac{-5}{2}$
    Soit $C$ le point d'intersection du plan $P$ et de l'axe des cotes alors $C(0;0;z_C)$.
    $C\in P \Longleftrightarrow 3x_C-2y_C+4z_C-5=0\Longleftrightarrow 4z_C-5=0\Longleftrightarrow z_C=\dfrac{5}{4}$
  2. Donner les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal au plan $P$.
  3. La droite $d$ est définie par sa représentation paramétrique $\begin{cases} x=2-5t\\ y=3-2t\\ z=1+3t \end{cases} $ avec $t\in \mathbb{R}$.
    La droite $d$ est-elle parallèle au plan $P$?
    La droite $d$ est parallèle au plan $P$ si elle est orthogonale au vecteur normal $\overrightarrow{n}$ de $P$
  4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection $C$ de $d$ et de $P$.
    Il faut écrire une équation d'inconnue $t$ en remplaçant dans l'équation de $P$ les expressions de $x$, $y$ et $z$ données avec la représentation paramétrique de $d$.


 
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