Exercice 864

vecteurs orthogonaux-volume d'une pyramide

Contenu

- coordonnées d'un vecteur et produit scalaire
- vecteurs orthogonaux et produit scalaire nul
- calculs de distances et volume d'une pyramide

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Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1;3;-1)$, $B(2;1;4)$, $C(5;0;3)$ et $D(4;2;-2)$.
  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ puis $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$ et en déduire la nature de $ABCD$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-1=1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-3=-2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=4-(-1)=5 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 5 \end{pmatrix} $
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{DC}}=x_C-x_D=5-4=1\\ y_{\overrightarrow{DC}}=y_C-y_D=0-2=-2\\ z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D=3-(-2)=5 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 5 \end{pmatrix} $

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BC}}=x_C-x_B=5-2=3\\ y_{\overrightarrow{BC}}=y_C-y_B=0-1=-1\\ z_{\overrightarrow{BC}}=z_C-z_B=3-4=-1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 3\\ -1\\ -1 \end{pmatrix} $
    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{BC}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{BC}}+z_{\overrightarrow{AB}}z_{\overrightarrow{BC}}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}=1\times 3+(-2)\times (-1)+5\times (-1)$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}=3+2-5$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}=0$

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$

    On a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme
    et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux

    donc $ABCD$ est un rectangle.
  2. Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AC]$.
  3. $S\left(6;\dfrac{11}{2};0\right)$, calculer $\overrightarrow{SI}.\overrightarrow{AC}$.
    Que représente alors $[SI]$ pour la pyramide $ABCDS$?
    Le projeté orthogonal de $S$ sur $(AC)$ est le centre du rectangle $ABCD$...
  4. Calculer alors le volume de cette pyramide.
    Le volume d'une pyramide est $V=\dfrac{\text{aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}$


 
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