Exercice 862

Produit scalaire avec trois points- calcul d'un angle

Contenu

- coordonnées d'un vecteur
- produit scalaire avec les coordonnées
- calcul d'un angle dans un triangle

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Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(2;1;3)$, $B(2;-1;5)$ et $C(3;1;4)$.
  1. Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-2=0\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=-1-1=-2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=5-3=2 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 0\\ -2\\ 2 \end{pmatrix} $
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=3-2=1\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=1-1=0\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=4-3=1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} $
    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}}+z_{\overrightarrow{AB}}z_{\overrightarrow{AC}}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=0\times 1+(-2)\times 0+2 \times 1$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=2$

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2$
  2. Calculer $AB$ et $AC$
    On peut utiliser les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ calculées à la question 1
  3. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
    On peut utiliser le résultat de la question 1 et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC cos(\widehat{BAC})$


 
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