Exercice 861

Produit scalaire dans un repère orthonormé

Contenu

- calcul du produit scalaire de deux vecteurs dans un repère orthonormé
- utilisation des propriétés algébriques du produit scalaire (règles de calcul)

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Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 2 \end{pmatrix}$.
  1. Calculer $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}+y_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}+z_{\overrightarrow{u}}z_{\overrightarrow{v}}$
    $\phantom{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}=-2\times3+3\times (-4)+5\times 2$
    $\phantom{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}=-6-12+10$
    $\phantom{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}=-8$

    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-8$
  2. $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$, calculer $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$
    On peut développer l'expression en utilisant $2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ et le résultat de la question 1.
  3. $\overrightarrow{k}\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ k \end{pmatrix}$, calculer $k$ sachant que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{k}$ sont orthogonaux.
    Il faut calculer $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ et on veut que ce produit scalaire soit égalà 0.


 
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