Exercice 854

Produit scalaire dans une pyramide régulière-calcul d'un angle

Contenu

- calculs de produits scalaires dans une pyramide régulière
- utilisation du projeté orthogonal
- calcul d'un angle

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$ABCDS$ est une pyramide régulière à base carrée de côté $a$ (voir figure avec les triangles de sommet $S$ isocèles en $S$).
  1. Calculer $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}$
    Le triangle $SAB$ est isocèle en $S$ donc le projeté orthogonal de $S$ sur $(AB)$ est le milieu de $[AB]$.
    Le triangle $SAB$ est isocèle en $S$ donc le projeté orthogonal $H$ de $S$ sur $[AB]$ est le milieu de $[AB]$.

    $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}=AH\times AB=\dfrac{a}{2}\times a=\dfrac{a^2}{2}$

    $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}=\dfrac{a^2}{2}$
  2. Calculer $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AC}$.
    La pyramide est régulière donc dans le plan $SAC$, le triangle $SAC$ est isocèle en $S$
    On peut donc utiliser le projeté orthogonal de $S$ sur $[AC]$.
  3. On donne $SA=2a$, en déduire la mesure, arrondie au degré près, de $\widehat{SAC}$.
    On peut utiliser le triangle $SAC$ avec $SA=SC=2a$ et $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AC}=AS\times AC cos(\widehat{SAC})$


 
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