Exercice 853

Calcul d'un angle dans un tétraèdre régulier

Contenu

- calcul de distances(Pythagore)
- calcul du produit scalaire avec les différentes expressions
- calcul d'un angle

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
$ABCD$ est un tétraèdre régulier de côté une unité (voir figure) et $I$ est le milieu de $[AB]$.
  1. Calculer $DI$.
    Le triangle $DAB$ est isocèle en $D$ et donc la médiane issue de $D$ dans $ABD$ est aussi la hauteur.
    $ABCD$ est un tétraèdre régulier donc $ABD$ est isocèle en $D$
    donc $(AI)$ est la médiane et la hauteur issue de $D$ dans $ABD$.
    On a donc $AD^2=AI^2+ID^2$
    donc $ID^2=AD^2-AI^2=1^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}$
    donc $ID=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

    $ID=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  2. Calculer alors $\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IC}$
    On utilise les distances $ID=IC$ car le tétrèdre est régulier avec toutes les faces identiques (triangles équilatéraux)
  3. En déduire la mesure, arrondie au dixième de degré, de l'angle $\widehat{DIC}$
    On peut utiliser la question 2 et $\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IC}=||\overrightarrow{IC}|| \times ||\overrightarrow{ID}||cos(\widehat{DIC})$


 
Haut de page