Exercice 852

Produit scalaire dans un cube-nature d'un quadrilatère

Contenu

- calcul du produit scalaire dans un cube
- produit scalaire avec des vecteurs orthogonaux
- relation de Chasles
- nature d'un quadrilatère (parallélogramme et rectangle)

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$ABCDEFGH$ est un cube(figure ci-dessous).
  1. Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BG}$.
    On peut décomposer $\overrightarrow{BG}$ en $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}$
    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG})$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BG}}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CG}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BG}}=0+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BF}$ car $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{BF}$ et $(AB)$ et $(BC)$ sont orthogonales
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BG}}=0$ car $(AB)$ et $(BF)$ sont orthogonales.

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BG}=0$

    Remarque
    $(AB)$ est orthogonale aux droites $(BF)$ et $(BC)$ donc orthogonale au plan $(BFG)$
    donc $(AB)$ est orthogonale à toute droite du plan $(BFG)$ donc à la droite $(BG)$
    donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BG}=0$
  2. En déduire la nature du quadrilatère $ABGH$.
    On a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$ et $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BG}$ sont orthogonaux (question 1)


 
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