Exercice 846

Intersection de deux droites-droites concourantes

Contenu

- recherche des coordonnées du point d'intersection de deux droites
- vérifier qu'un point appartient à une droite, droites concourantes

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L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$:
Les droites $D$, $D'$ et $D''$ ont pour équations paramétriques respectives

$\begin{cases} x=3-t\\ y=3-2t\\ z=1+2t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$, $\begin{cases} x=7+2k\\ y=-4-k\\ z=-1-2k \end{cases}$ avec $k \in \mathbb{R}$ et $\begin{cases} x=-2+s\\ y=-7+2s\\ z=-10-5s \end{cases}$ avec $s \in \mathbb{R}$
  1. Déterminer si les deux droites sont sécantes et donner dans ce cas les coordonnées de leur point d'intersection.
    Il faut que les coordonnées du point d'intersection vérifient les deux systèmes d'équations
    On cherche donc un couple de réels $(k;t)$ tels que $-t=3+2k$, $-3+t=-2k$...
    Recherche d'un point d'intersection s'il existe (si les deux droites sont sécantes):
    $M(x;y;z)$ appartient à $D$ et $D'$ si le système d'équations ci-dessous admet une solution:
    $\begin{cases} 3-t=7+2k\\ 3-2t=-4-k\\ 1+2t=-1-2k \end{cases} $
    Recherche de $t$ et $k$ avec les deux premières équations:
    $\begin{cases} 3-t=7+2k\\ 3-2t=-4-k \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} t=-4-2k\\ 3-2(-4-2k)=-4-k \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} 3-t=7+2k\\ 3-2t=-4-k \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} t=-4-2k\\ 3+8+4k=-4-k \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} 3-t=7+2k\\ 3-2t=-4-k \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} t=-4-2k\\ 5k=-15 \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} 3-t=7+2k\\ 3-2t=-4-k \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} t=2\\ k=-3 \end{cases} $ On vérifie alors que la troisième égalité ($1+2t=-1-2k$) est vraie avec les valeurs de $t$ et $k$ obtenues:
    $1+2t=1+2\times 2=5$ et $-1-2k=-1-2\times (-3)=5$
    donc il existe un couple de réel $(k;t)=(-3;2)$ solution du système d'équations donc $D$ et $D'$ sont sécantes.
    Pour $t=2$ avec une équation paramétrique de $D$ on a:
    $\begin{cases} x=3-t=3-2=1\\ y=3-2t=3-4=-1\\ z=1+2t=1+4=5 \end{cases}$

    donc $D$ et $D'$ sont sécantes en $M(1;-1;5)$.
  2. En déduire que les droites $D$, $D'$ et $D''$ sont concourantes.
    Il faut vérifier que les coordonnées de $M$ vérifient le système d'équationa définissant la droite $D''$.
    On peut déterminer $s$ en utilisant $x_M$ et la première équation...


 
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