Exercice 842

Equation paramétrique d'une droite définie par deux points

Contenu

- coordonnées d'un vecteur
- déterminer une équation paramétrique d'une droite

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L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$:
Dans chaque cas, déterminer une équation paramétrique de la droite $(AB)$
  1. $A(2;3,-1)$ et $B(1;5;-3)$
    $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(AB)$
    $M(x;y;z)$ appartient à la droite $(AB)$ si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
    $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
    Soit $M(x;y;z)$ un point de $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=1-2=-1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=5-3=2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=-3-(-1)=-2 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -2 \end{pmatrix} $
    On a donc $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ avec $t\in \mathbb{R}$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-2\\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-3\\ z_{\overrightarrow{AM}}=z_M-z_A=z-(-1)=z+1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-2\\ y-3\\ z+1 \end{pmatrix} $
    $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}\Longleftrightarrow \begin{cases} x-2=-t\\ y-3=2t\\ z+1=-2t \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=2-t\\ y=3+2t\\ z=-1-2t \end{cases}$

    Un équation paramétrique de $(AB)$ est $\begin{cases} x=2-t\\ y=3+2t\\ z=-1-2t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$

    Remarque
    On peut aussi écrire directement le système d'équations:
    $\begin{cases} x=x_A+tx_{\overrightarrow{AB}}\\ y=y_A+ty_{\overrightarrow{AB}}\\ z=z_A+tz_{\overrightarrow{AB}} \end{cases}$
  2. $A(-2;4,3)$ et $B(1;4;1)$
    $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(AB)$


 
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