Exercice 837

Points et vecteurs coplanaires

Contenu

- vecteurs colinéaires
- plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
- calcul des coordonnées d'un point pour qu'il appartienne à un plan

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L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$:
On donne le point $A(-2;1;5)$ et les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3\\ 1\\4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$
  1. Montrer que le point $A$ et les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ définissent un plan.
    Il faut montrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires
    Le point $A$ et les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ définissent un plan si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires
    donc il n'existe aucun réel $k$ tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$.
    $x_{\overrightarrow{u}}=3=-3x_{\overrightarrow{v}}$
    et $-3y_{\overrightarrow{v}}=-3\times 2=-6\neq y_{\overrightarrow{u}}$
    donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires

    et $A$, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ définissent un plan.
  2. Le point $B(1;9;22)$ appartient-il au plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

    Il faut déterminer si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont coplanaires
    Il faut écrire un système d'équations avec les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$
  3. Déterminer les coordonnées du point $M(3;-2;z)$ sachant que $M$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
    Il faut que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient coplanaires donc qu'il existe deux réels $a'$ et $b'$ tels que $\overrightarrow{AM}=a'\overrightarrow{u}+b'\overrightarrow{v}$


 
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