Exercice 836

Points coplanaires dans un repère

Contenu

- coordonnées d'un vecteur
- système d'équations
- points coplanaires

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L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$:
On donne les points $A(-2;1;5)$, $B(2;3;-1)$, $C(1;-1;3)$ et $D(-6;6;6)$
  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-(-2)=4\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-1=2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=-1-5=-6 \end{cases}$

    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4\\ 2\\ -6 \end{pmatrix} $

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=1-(-2)=3\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-1-1=-2\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=3-5=-2 \end{cases}$

    donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ -2 \end{pmatrix} $

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AD}}=x_D-x_A=-6-(-2)=-4\\ y_{\overrightarrow{AD}}=y_D-y_A=6-1=5\\ z_{\overrightarrow{AD}}=z_D-z_A=6-5=1 \end{cases}$

    donc $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} -4\\ 5\\ 1 \end{pmatrix} $
  2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$
    Il faut écrire un système d'équations avec les coordonnées des vecteurs
  3. Que peut-on en déduire pour les points $A$, $B$, $C$ et $D$?


 
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