Exercice 835

Vecteurs coplanaires dans un repère

Contenu

- déterminer si trois vecteurs sont coplanaires
- systèmes d'équations à deux inconnues

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L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$:
Dans chaque cas, déterminer si les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
  1. $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\3\\-3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 6\\-3\\2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 2\\9\\-11 \end{pmatrix}$. -
    On veut savoir s'il existe un couple $(a;b)$ de réels tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$
    Il fayt écrire un système d'équations avec les coordonnées des vecteurs
    On veut savoir s'il existe un couple $(a;b)$ de réels tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$
    soit $\begin{cases} x_{\overrightarrow{w}}=ax_{\overrightarrow{u}}+b x_{\overrightarrow{v}}\\ y_{\overrightarrow{w}}=ay_{\overrightarrow{u}}+b y_{\overrightarrow{v}}\\ z_{\overrightarrow{w}}=az_{\overrightarrow{u}}+b z_{\overrightarrow{v}} \end{cases}$
    On a donc le système d'équations suivant:
    $\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b\\ -11=-3a+2b \end{cases}$
    Détermination de $a$ et $b$ avec les deux premières équations:
    $\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 1=a+3b\\ 3=a-b \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b\\ \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1-3b\\ 3=(1-3b)-b \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b\\ \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1-3b\\ 2=-4b \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1-3\times \dfrac{-1}{2}\\ b=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=\dfrac{5}{2}\\ b=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
    On regarde ensuite si la troisième égalité ($ -11=-3a+2b$) est vraie avec ces deux réels $a$ et $b$ calculés:
    $ -3a+2b=-3\times \dfrac{5}{2}+2\times \dfrac{-1}{2}=\dfrac{-17}{2}\neq -11$

    donc $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas coplanaires.
  2. $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2\\-3\\-4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -4\\13\\18 \end{pmatrix}$. -
  3. $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2\\5\\1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3\\1\\-2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -4\\27\\1 \end{pmatrix}$. -


 
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