Points coplanaires, alignement

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Chapitre 8: Géométrie dans l'espace-produit scalaire

série 3: Calculs avec les coordonnées-points et vecteurs coplanaires

niveau:

10mn

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questions

L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ et on donne les points $A(2;-3;1)$, $B(1;3;5)$ et $C(-1;3;-2)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
Rappel de cours

Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Dans un repère de l'espace, on donne $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $

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$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=1-2=-1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-(-3)=6\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=5-1=4 \end{cases}$

donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\\ 6\\ 4 \end{pmatrix} $

$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=-1-2=-3\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=3-(-3)=6\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=-2-1=-3 \end{cases}$

donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3\\ 6\\ -3 \end{pmatrix} $
Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Afficher/masquer l'aide
$A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Afficher/masquer la solution
$x_{\overrightarrow{AC}}=-3=3x_{\overrightarrow{AB}}$
et $y_{\overrightarrow{AC}}=6=y_{\overrightarrow{AB}}$
donc il n'existe pas de réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires

donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Déterminer les coordonnées du point $M$ défini par la relation $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$
Afficher/masquer l'aide
On a donc $x_{\overrightarrow{AM}}=2x_{\overrightarrow{AB}}-3x_{\overrightarrow{AC}}$

Aide en ligne (explications, conseils de révisions...)
Que peut-on en déduire pour les points $A$, $B$, $C$ et $M$?
Rappel de cours

Caractérisation vectorielle d'un plan
Soit $A$ et les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non colinéaires de l'espace,
l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}$ avec $x$ et $y$ réels est le plan $(ABC)$ avec $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$.

Réussir en maths, c'est possible, rejoignez-nous!
On donne $N(5;y;z)$, déterminer les coordonnées de $N$ pour que $A$, $B$ et $N$ soient alignés.
Afficher/masquer l'aide
Il faut que les vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{AB}$ soient colinéaires.

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