Exercice 695

Lectures graphiques-calcul d'une intégrale

Contenu

- lecture graphique du nombre dérivé
- recherche des coefficients de f
- identification de la représentation graphique d'une primitive F de f
- justifier qu'une fonction F est une primitive de f
- calcul d'une intégrale

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La fonction $f$ représentée ci-dessous par la courbe $(\mathcal{C})$ est définie sur $]0;+ \infty[$ par $f(x) = (ax + b)ln x$ où $a$ et $b$ sont deux constantes que l'on calculera dans la suite de cette question.

Sur le graphique 1 sont placés les points $A(1 ; 0)$, $B(2 ; 0)$ et $E(0;-1)$.
Les points A et B appartiennent à la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(AE)$ est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en A.
  1. Donner par lecture graphique $f(2)$ et $f'(1)$.
    Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente $(AE)$ à la courbe au point $A$ d'abscisse 1
    Le point $B(2;0)$ appartient à la courbe

    donc $f(2)=0$

    $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse 1.
    Cette tangente passe par $A(1;0)$ et $E(0;-1)$.
    $f'(1)=\dfrac{y_E-y_A}{x_E-x_A}=\dfrac{-1-0}{0-1}=1$

    donc $f'(1)=1$

    Remarque
    On peut aussi lire directement ce coefficient directeur sur le graphique.
  2. En déduire que $a$ et $b$ sont solutions du système
    Exprimer d'abord $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    Il faut écrire deux équations d'inconnues $a$ et $b$ en utilisant les résultats de la question 1
    On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=u(x)v(x)$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f$ dérivable sur $]0;+\infty[$
    $u'(x)=a$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{f'(x)}=aln(x)+(ax+b)\times \dfrac{1}{x}$
    $\phantom{f'(x)}=aln(x)+a+\dfrac{b}{x}$
    $f(2)=0\Longleftrightarrow (a\times 2+b)ln(2)=0 \Longleftrightarrow 2a+b=0$
    $f'(1)=1\Longleftrightarrow aln(1)+a+b=1 \Longleftrightarrow a+b=1$ car $ln(1)=0$
    On doit donc résoudre le système d'équations suivant:
    $\begin{cases} 2a+b=0\\ a+b=1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2a+1-a=0\\ b=1-a \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2a+b=0\\ a+b=1 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=1-(-1) \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2a+b=0\\ a+b=1 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=2 \end{cases}$

    donc $a=-1$ et $b=2$ et $f(x)=(-x+2)ln(x)$
  3. Soit $G$ une primitive de la fonction $f$ représentée par la courbe $(\mathcal{C})$.
    Parmi les trois courbes $(\mathcal{C}_{1})$, $(\mathcal{C}_{2})$, $(\mathcal{C}_{3})$ proposées ci-dessous, quelle est la seule qui peut représenter $G$? Justifier votre réponse.
    On a $G'(x)=f(x)$ et donc le signe de $f(x)$ permet de déterminer les variations de $G$.
  4. On admet à partir de maintenant que $f$ est définie sur $[0;+ \infty[$ par $f(x) =2ln x - x ln x$.
    Le but de la question est de calculer une intégrale.
    1. Soit $F$ la fonction définie sur $]0;+ \infty[$ par $F(x) = \left(2x- \dfrac{1}{2}x^2\right)ln (x) - 2x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{15}{4}$.
      Démontrer que la fonction $F$ est la primitive de $f$ qui prend la valeur 2 pour $x = 1$.
      On doit calculer $F'(x)$ en posant $u(x)=2x- \dfrac{1}{2}x^2$ et $v(x)=ln (x)$ et on a $F(x)=u(x)v(x)-2x+\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{15}{4}$
    2. Calculer $\displaystyle\int_{1}^2 f(x)dx$. Donner une interprétation géométrique de cette intégrale.


 
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