Exercice 692

Fonction définie par une intégrale

Contenu

- comparaison d'intégrales
- linéarité de l'intégrale
- limite et variations de la fonction définie par une intégrale

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La fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ et on donne ci-dessous le tableau de variation de $f$.
On note $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal.

La fonction $g$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\int_0^x f(t)dt$
  1. Interpréter graphiquement $g(2)$.
    On a $f$ continue sur $[0;2]$ et $f(x)\geq 0$ sur $[0;2]$.
    $g(2)=\int_0^2 f(t)dt$
    D'après le tableau de variation de $f$, on a $f$ continue et $f(x)\geq 0$ sur $[0;2]$
    donc $g(2)=\int_0^2 f(t) dt$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ (axe des ordonnées) et $x=2$.
  2. Montrer que $0\leq g(2)\leq 2e$.
    Il faut encadrer $f(x)$ pour $x\in [0;2]$
    D'après le tableau de variation de $f$ on a $0\leq f(x)\leq e$ sur $[0;2]$.
    donc on a $0\leq \int_0^2 f(t)dt \leq \int_0^2 e dt$
    $\int_0^2 edt=[ex]_0^2=e\times 2-e\times 0=2e$

    donc $0\leq g(2)\leq 2e$.
  3. Montrer que pour tout $x\geq 2$ on a $\int_0^2 f(t)dt \geq x-2$.
    Pour tout réel $x \geq 2$ on a $f(x)\geq 1$
  4. En déduire $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)$.
    Il faut décomposer l'intégrale en deux intégrales sur $[0;2]$ puis sur $[2;+\infty[$
  5. Etudier les variations de la fonction $g$.
    On a $g'(x)=f(x)$


 
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