Exercice 691

Calcul d'une intégrale et interprétation graphique (d'après BAC S Liban 2013)

Contenu

- limites avec exponentielle-interprétation graphique des limites (asymptotes)
- dérivée et variations de f
- recherche d'une primitive de f
- calcul d'une intégrale et interprétation graphique

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$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $ f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{- x}}$.
La représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère ci-dessous.
  1. Déterminer les limites de $f(x)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
    Rappel $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
    $ f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{- x}}= \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{e^x}}$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{e^x}=0$
    donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1+\dfrac{1}{e^x}=1$

    et par quotient on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=1$

    La courbe $\mathcal{C}_f$ admet donc une asymptote d'équation $y=1$ en $+\infty$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0^+$ donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{1}{e^x}=+\infty$
    donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} 1+\dfrac{1}{e^x}=+\infty$

    et par quotient on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=0$

    La courbe $\mathcal{C}_f$ admet donc une asymptote d'équation $y=0$(axe des abscisses) en $-\infty$.
  2. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x) = \dfrac{e^{x}}{1 + e^{x}}$.
    Rappel $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
  3. On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    Calculer $f'(x)$.
    En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
    On pose $u(x)=e^x$ et $v(x)=e^x+1$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
  4. Calculer $I = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)dx$.
    Donner une interprétation graphique de $I$.
    On pose $w(x)=e^x+1$ et on a alors $w'(x)=e^x$
    $f(x)=\dfrac{w'(x)}{w(x)}$


 
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