Exercice 662

Approximation d'une intégrale: méthode des trapèzes

Contenu

- approximation d'une intégrale avec des trapèzes
- exemple avec deux trapèzes
- lire et compléter un algorithme pour effectuer cette approximation
- calcul de l'intégrale avec la calculatrice

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=xe^{2x}-0,2x+1$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
$C_f$ est donnée ci-dessous.

On veut déterminer une approximation de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
  1. Que représente $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ sur le graphique?
    $f$ est continue sur $[0;1]$ ($xe^{2x}$ est produit de deux fonctions continues sur $[0;1]$).
    $x\geq 0$, $e^{2x}> 0$ et $0,2x+1>0$
    donc on a $f(x)>0$ sur $[0;1]$.
    $f$ est continue et $f(x)>0$ sur $[0;1]$ donc $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine (en rouge ci-dessous) limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
  2. On utilise deux trapèzes de largeur 0,5 pour approximer l'aire correspondant à $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

    En utilisant ces deux trapèzes, donner une approximation de l'aire cherchée.
    On rappelle que l'aire d'une trapèze est donnée par:
    Il faut calculer $f(0)$, $f(0,5)$ et $f(1)$.
    $f(0)=0e^{0}-0,2\times 0+1=1$
    $f(0,5)=0,5e^{2\times 0,5}-0,2\times 0,5+1=0,5e+0,9$
    $f(1)=1e^{2\times 1}-0,2\times 1+1=e^2+0,8$
    Si on note $A_1$ l'aire du trapèze de largeur 0,5 avec $b=f(0)$ et $B=f(0,5)$(trapèze de gauche) et $A_2$ l'aire du trapèze de largeur 0,5 avec $b=f(0,5)$ et $B=f(1)$ (trapèze de droite) on a:
    $A_1=\dfrac{0,5\times (f(0)+f(0,5))}{2}=0,25\times (1+0,5e+0,9)=0,475+0,125e$ unités d'aires
    $A_2=\dfrac{0,5\times (f(0,5)+f(1))}{2}=0,25\times (0,5e+0,9+e^2+0,8)=0,425+0,125e+0,25e^2$ unités d'aires
    $A_1+A_2=0,475+0,125e+0,425+0,125e+0,25e^2=0,9+0,25e+0,25e^2$

    donc $A_1+A_2=0,9+0,25e+0,25e^2$
  3. On veut maintenant partager l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles d'amplitude $\dfrac{1}{n}$(voir graphique ci-dessous) et calculer la somme des aires des rectangles obtenus comme dans le cas précédent.

    On note $x_k$ les abscisses $\dfrac{k}{n}$ avec $k$ entier naturel compris entre 0 et $n-1$.
    Exprimer la valeur de $x_k$ (voir graphique) en fonction de $k$.
    Quelles sont les valeurs prises par $k$?
    La différence entre deux abscisses consécutives est de $\dfrac{1}{n}$
  4. Montrer que l'aire de chaque trapèze en fonction de $n$ et $k$ est $A_k=\dfrac{f\left(\dfrac{k}{n}\right)+f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)}{2n}$
    Il faut calculer la longueur de $b$ et $B$ pour chaque trapèze en fonction de l'abscisse $\dfrac{k}{n}$
  5. Compléter l'algorithme ci-dessous permettant de calculer la somme des aires des trapèzes obtenus en divisant l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de même amplitude.
  6. Donner une valeur approchée de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
    Avec une CASIO Option puis CALC puis $\int$


 
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