Exercice 661

Approximation d'une intégrale: méthode des rectangles

Contenu

- approximation d'une intégrale avec la méthode des rectangles
- exemple de calcul
- algorithme

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=xln(x+1)+1$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
$C_f$ est donnée ci-dessous.

On veut déterminer une approximation de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
  1. Que représente $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ sur le graphique?
    $f$ est continue sur $[0;1]$ ($xln(x+1)$ est produit de deux fonctions continues sur $[0;1]$).
    $x\geq 0$ donc $x+1 \geq 1$ donc $ln(x+1) \geq 0$
    et on a $f(x)>0$ sur $[0;1]$.
    $f$ est continue et $f(x)>0$ sur $[0;1]$ donc $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine (en rouge ci-dessous) limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
  2. Calculer $f(0)$ puis $\displaystyle \int_0^1 f(0)dx$.
    Une primitive d'une fonction constante $u(x)=C$ est de la forme U(x)=Cx$
    $f(0)=0ln(0+1)+1=1$
    $\displaystyle \int_0^1 f(0)dx=\displaystyle \int_0^1 1 dx=[x]_0^1=1-0=1$

    donc $\displaystyle \int_0^1 f(0)dx=1$
  3. On utilise deux rectangles de largeur 0,5 pour approximer l'aire correspondant à $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

    En utilisant ces deux rectangles, donner une approximation de l'aire cherchée.
    Il faut calculer $f(0)$ et $f(0,5)$
  4. On veut maintenant partager l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles d'amplitude $\dfrac{1}{n}$(voir graphique ci-dessous) et calculer la somme des aires des rectangles obtenus comme dans le cas précédent.

    On note $x_k$ les abscisses $\dfrac{k}{n}$ avec $k$ entier naturel compris entre 0 et $n-1$.
    Exprimer l'aire de chacun des rectangles en fonction de $n$
    Il faut calculer la hauteur de chaque rectangle en fonction de l'abscisse $\dfrac{k}{n}$
  5. On donne l'algorithme ci-dessous permettant de calculer la somme des aires des rectangles obtenus en divisant l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de même amplitude.

    Que représente $A$? $n$? et $x$?
  6. Quel est le calcul effectué à la ligne 11?
  7. Avec la calculatrice, donner la valeur de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
    Avec une CASIO Option puis CALC puis $\int$


 
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