Exercice 655

Suite définie par une intégrale (type BAC) avec exponentielle

Contenu

- étude des variations
- recherche d'une primitive et calcul d'une intégrale
- suite croissante et majorée

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On considère la suite numérique $(J_n)$ définie pour tout entier naturel non nul par $J_n=\int_1^n e^{-t} \sqrt{1+t}dt$.
  1. Etudier les variations de la suite $(J_n)$.
    On doit étudier le signe de $J_{n+1}-J_n$
    Pour tout entier naturel $n$ non nul on a:
    $J_{n+1}-J_n=\int_1^{n+1} e^{-t} \sqrt{1+t}dt-\int_1^{n} e^{-t} \sqrt{1+t}dt$
    $\phantom{J_{n+1}-J_n}=\int_1^{n+1} e^{-t} \sqrt{1+t}dt+\int_{n}^1 e^{-t} \sqrt{1+t}dt$
    $\phantom{J_{n+1}-J_n}=\int_{n}^1 e^{-t} \sqrt{1+t}dt+\int_1^{n+1} e^{-t} \sqrt{1+t}dt$
    $\phantom{J_{n+1}-J_n}=\int_{n}^{n+1} e^{-t} \sqrt{1+t}dt$ (en utilisant la relation de Chasles)
    Pour déterminer le signe de cette intégrale, il faut étudier le signe de $f(t)=e^{-t} \sqrt{1+t}$ sur $[1;+\infty[$
    $e^{-t}>0$ et $\sqrt{1+t}>0$
    donc $f(t)>0$ sur $[1;+\infty[$
    donc $\int_{n}^{n+1} e^{-t} \sqrt{1+t}dt>0$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    donc $J_{n+1}-J_n>0$

    donc la suite $(J_n)$ est strictement croissante.
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $(I_n)$ par la relation $I_n=\int_1^n (t+1)e^{-t}dt$
    1. Montrer que pour réel $t\geq 1$ on a $\sqrt{1+t}< 1+t$
      Pour tout réel $x> 1$ on a $\sqrt{x}< x$
      On a $t\geq 1$ donc $1+t>1$ et on a alors $\sqrt{1+t} < 1+t$ (en posant $x=1+t$)

      donc $\sqrt{1+t} < 1+t$ pour tout réel $t \geq 1$.

      Remarque
      Autre méthode sans utiliser le cours de première S:
      $\sqrt{1+t}$ et $1+t$ sont deux nombres strictement positifs ($t\geq 1$)
      donc on peut comparer leurs carrés $\sqrt{1+t}^2=1+t$ et $(1+t)^2=1+2t+t^2$
      Pour comparer deux nombres, on peut étudier le signe de la différence:
      $1+t-(1+t)^2=1+t-(1+2t+t^2)=-t-t^2$
      $-t<0$ et $-t^2<0$ donc $-t-t^2<0$
      donc $1+t < (1+t)^2$
      donc $\sqrt{1+t}< 1+t$
    2. En déduire que $J_n \leq I_n$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
      On peut comparer $e^{-t}\sqrt{1+t}$ et $e^{-t}(1+t)$
    3. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $H(t)=(at+b)e^{-t}$ soit une primitive de la fonction $h$ définie sur $[1;+\infty[$ par $h(t)=(1+t)e^{-t}$.
      En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$.
      Il faut calculer $H'(t)$ et identifier les coefficients pour avoir $H'(t)=h(t)$
    4. En déduire un majorant de la suite $I_n$.
      Que peut-on en déduire pour la suite $(J_n)$?
      On a $e^{-n}(-2-n)<0$


 
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